Kezdőlap


Feladat:	Gy.1771	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1978/december, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Trapézok, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: Gy.1771

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a trapéz csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel ( $A B$ legyen $C D$ -vel párhuzamos), $A B$ , $C D$ felezőpontját $E$ -vel, $F$ -fel, az átlók metszéspontját $M$ -mel, a szárak metszéspontját (ha létezik) jelöljük $S$ -sel.

Mivel

A B

párhuzamos

C D

-vel, az

A B M

C D M

háromszögek az

M

centrumra nézve hasonlóan helyezkednek el. Emiatt az

E F

egyenes átmegy

M

-en. Ha

S

nem jön létre, akkor

B C

és

D A

is párhuzamosak, és

E F

is párhuzamos velük. Ha

S

létrejön, az

S A B

S D C

háromszögek az

S

centrumra nézve hasonlóan helyezkednek el, emiatt

E F

S

-en is átmegy. Mindkét esetben azt fogjuk megmutatni, hogy a feladatban szereplő paralelogramma egyik átlója az

E F

egyenes. Jelöljük ugyanis

M

-nek

E

-re, illetve

F

-re vonatkozó tükörképét

G

-vel, illetve

H

-val. Ezek egyrészt rajta vannak az

E F

egyenesen, másrészt épp a feladatban szereplő paralelogramma szemközti csúcsai, hiszen a tükrözés miatt

A G ∥ B D ∥ C H

és

B G ∥ A C ∥ D H

.
Az

A B M

C D M

háromszögek hasonlósága miatt

A M : A C = B M : B D

, tehát az

A G B M

paralelogramma hasonló a feladatban leírt paralelogrammához. Mivel

G

-ből induló oldalaik egyenese azonos irányú, ez a két paralelogramma a

G

centrumra nézve hasonlóan helyezkedik el. Így a

G

-vel szomszédos csúcsaikat összekötő átlók párhuzamosak, vagyis a feladatban szereplő paralelogramma másik átlója párhuzamos az

A B

oldallal.