Kezdőlap


Feladat:	Gy.1768	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arató Miklós , Náray Zsófia
Füzet:	1978/november, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: Gy.1768

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük általában $R_{n} (x)$ -szel az

\begin{matrix} R_{n} (x) = x^{2 n} - 2 x^{2 n - 1} + 3 x^{2 n - 2} - 4 x^{2 n - 3} + ... + 2 n + 1 \end{matrix}

(2)

összeget. Megmutatjuk, hogy ez minden rögzített

x

mellett

n

-ben monoton nő. Ebből következik a feladat állítása, hiszen

\begin{matrix} R_{1} (x) = x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + 2 \geq 2, \end{matrix}

tehát így

(1)

bal oldalának értéke minden valós

x

mellett legalább

2

.
Állításunk igazolása érdekében vizsgáljuk meg a

Q_{n} (x) = R_{n} (x) - R_{n - 1} (x)

különbséget:

\begin{matrix} Q_{n} (x) = x^{2 n} - 2 x^{2 n - 1} + 3 x^{2 n - 2} - 4 x^{2 n - 3} + 5 x^{2 n - 4} - 6 x^{2 n - 5} + ... + 2 n + 1 - \\ - (x^{2 n - 2} - 2 x^{2 n - 3} + 3 x^{2 n - 4} - 4 x^{2 n - 5} + ... + 2 n - 1) = \\ = x^{2 n} - 2 x^{2 n - 1} + 2 x^{2 n - 2} - 2 x^{2 n - 3} + 2 x^{2 n - 4} - 2 x^{2 n - 5} + ... + 2. \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy rögzített

x

mellett ez is monoton nő

n

-ben. Ebből már következik az állításunk, hiszen

\begin{matrix} Q_{1} (x) = x^{2} - 2 x + 2 = {(x - 1)}^{2} + 1 \geq 1. \end{matrix}

Ismét a szomszédos tagok különbségét vizsgáljuk :

\begin{matrix} Q_{n} (x) - Q_{n - 1} (x) = x^{2 n} - 2 x^{2 n - 1} + 2 x^{2 n - 2} - 2 x^{2 n - 3} + ... + \\ + 2 - (x^{2 n - 2} - 2 x^{2 n - 3} + ... + 2) = \\ = x^{2 n} - 2 x^{2 n - 1} + x^{2 n - 2} = {(x^{n} - x^{n - 1})}^{2} \geq 0. \end{matrix}

Állításainkat ezzel bebizonyítottuk.

Náray Zsófia (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Az egyenlő kitevőjű hatványok különbségének ismert szorzattá alakítása alapján, ha

x \neq - 1

\begin{matrix} S_{k} (x) = {(- x)}^{k} + {(- x)}^{k - 1} + ... + 1 = \frac{1 - {(- x)}^{k + 1}}{1 + x} . \end{matrix}

Ezt ismét felhasználva kapjuk, hogy

\begin{matrix} T_{k} (x) = S_{k} (x) + S_{k - 1} (x) + ... + S_{1} (x) + 1 = \frac{1 - {(- x)}^{k + 1}}{1 + x} + \\ + \frac{1 - {(- x)}^{k}}{1 + x} + ... + \frac{1 - {(- x)}^{2}}{1 + x} + \frac{1 - (- x)}{1 + x} = \\ = \frac{(k + 1) - (- x) S_{k} (x)}{1 + x} = \frac{(k + 1) (1 + x) - (- x) (1 - {(- x)}^{k + 1})}{{(1 + x)}^{2}} = \\ = \frac{(k + 1) + (k + 2) x + {(- x)}^{k + 2}}{{(1 + x)}^{2}} . \end{matrix}

Mivel az

(S_{k} (x) + S_{k - 1} (x) + ... + S_{l} (x) + 1)

összegben

{(- x)}^{k}

csak egyszer szerepel,

{(- x)}^{k - 1}

kétszer,

{(- x)}^{k - 2}

háromszor, és így tovább, végül az

1

minden tagban szerepel, tehát

(k + 1)

-szer fordul elő,

\begin{matrix} S_{2 n} (x) = {(- x)}^{2 n} + 2 {(- x)}^{2 n - 1} + 3 {(- x)}^{2 n - 2} + ... + 2 n + 1 = R_{n} (x) . \end{matrix}

Ez pedig nem negatív

x

mellett pozitív, hiszen páros

k

mellett az előbb kapott alak számlálója is, nevezője is pozitív. Tehát nem negatív

x

mellett

(1)

bal oldalán pozitív szám áll. Ámde negatív

x

mellett is pozitív ennek a kifejezésnek az értéke, hiszen ekkor az eredeti alak minden tagja pozitív. Tehát

(1)

bal oldalának az értéke minden valós

x

mellett pozitív.

Arató Miklós (Budapest, József A. Gimn., II. o. t.)