Kezdőlap


Feladat:	Gy.1767	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1978/november, 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: Gy.1767

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Definíció szerint $[u] = 2$ ekvivalens a $2 \leq u < 3$ egyenlőtlenséggel, így $(1)$ helyett a

\begin{matrix} 2 \leq \frac{1}{x} {[x]}^{2} < 3 \end{matrix}

(2)

egyenlőtlenséget oldjuk meg. Nyilván csak pozitív

x

-re teljesülhet

(2)

, hiszen

{[x]}^{2}

nem negatív. Ha már tudjuk, hogy

x

pozitív, szorozhatunk vele anélkül, hogy az egyenlőtlenség iránya megváltozna:

\begin{matrix} 2 x \leq {[x]}^{2} < 3 x . \end{matrix}

Ismét

x

pozitív volta miatt gyököt is vonhatunk:

\begin{matrix} \sqrt[]{2 x} \leq [x] < \sqrt[]{3 x} \end{matrix}

(3)

Mivel

[x] \leq x

, az első egyenlőtlenségből

\sqrt[]{2 x} \leq x

2 \leq x

következik. Mivel

[x] > x - 1

, a második egyenlőtlenségből

\begin{matrix} x - 1 < \sqrt[]{3 x} \end{matrix}

következik. Ez biztosan nem teljesül, ha

x \geq 5

, hiszen ekkor

\begin{matrix} 3 x \leq (x - 2) x < {(x - 1)}^{2} . \end{matrix}

Így

[x]

értéke csak

2

3

vagy

4

lehet. Mivel

x \geq 2

esetén

\sqrt[]{2 x} \geq 2

, és egyenlőség csak

x = 2

mellett állhat, ha

[x] = 2

(3)

csak

x = 2

mellett teljesülhet. Ekkor

\sqrt[]{3 x} > 2

, tehát ez valóban gyök.
Ha

[x] = 3

(3)

miatt

\sqrt[]{3 x} > 3

x > 3

, ami kizárja az

x = 3

értéket. Különben az egész

3 < x < 4

intervallum megfelelő, hiszen itt

\sqrt[]{2 x} < \sqrt[]{8} < 3

, és

\sqrt[]{3 x} > 3

. Végül

[x] = 4

már nem lehet, mert ez

[x] < \sqrt[]{3 x}

miatt az

x > \frac{16}{3}

feltételre vezet. Tehát

(1)

megoldása az

x = 2

érték és a

3 < x < 4

intervallum.