Feladat: Gy.1766 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Antal Z. ,  Csikós Zs. ,  Czimmer Aranka ,  Dósa Gy. ,  Elek G. ,  Groma Virág ,  Hajnóczky Gy. ,  Hetyei G. ,  Hollósi J. ,  Kapos L. ,  Károlyi Gy. ,  Kerényi I. ,  Király Z. ,  Kiss 712 E. ,  Krecsmáry T. ,  Laki Éva ,  Lelkes A. ,  Madarász J. ,  Megyeri Eszter ,  Nagy Edit ,  Pátkai Beatrix ,  Pelles Judit ,  Pósfai M. ,  Regős Péter ,  Simonyi G. ,  Slenker Gy. ,  Somogyi Z. ,  Szirmay L. ,  Verdes Emese ,  Viniczay Zs. ,  Zelenák P. ,  Zeley Gy. 
Füzet: 1978/december, 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/május: Gy.1766

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha el akarunk jutni a bal felső sarokból a jobb alsóba, akkor ezt a két mezőt nyilvánvalóan nem takarhatjuk le. Tegyük fel, hogy valamely mezőre a bal felső sarokból i-féleképpen juthatunk el, és innen a jobb alsóba j-féleképpen. Akkor ennek a mezőnek a letakarása i⋅j úttól fosztja meg a bábut. Azt kell tehát megkeresnünk, mikor lesz ez a szorzat a legnagyobb. Nézzük meg először, hogy hányféleképpen juthatunk el az egyes mezőkre. A felső sor és a bal oldali oszlop mezőire csak egyféleképpen. Minden más mezőre a bábu csak felülről, vagy balról léphet.

l1ll1l  1    1    1  1    2    3    4    5  1    3    6    10    15  1    4    10    20    35  1    5    15    35    70  
 

Ha tudjuk, hogy egy kiszemelt mező fölötti négyzetre p-féleképpen, a balra levőre pedig q-féleképpen lehet eljutni a bal felső sarokból, akkor a kiszemelt mezőre (p+q)-féleképpen. Ennek alapján sorban beírhatjuk a sakktábla mezőire, hogy melyiket hányfélekép lehet elérni. Most még azt is meg kell vizsgálni, hogy az egyes mezőkről hányféleképpen juthatunk el a jobb alsó sarokba. Ezen utak száma nyilvánvalóan ugyanannyi, mint a bal felső sarokból a mező középpontosan szimmetrikus társához vezető utak száma. Tehát az ábráról csak azt kell leolvasni, hogy melyik középpontosan szimmetrikus mezőpár esetén lesz a bennük elhelyezkedő számok szorzata a legnagyobb. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez a 2 és 20 számokat tartalmazó mezőpár esetén következik be. Tehát ezek egyikéről kitiltva a bábut, a lehető legkevesebbféleképpen juthat el a bal felső sarokból a jobb alsóba.
 

 Regős Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)