Kezdőlap


Feladat:	Gy.1760	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/november, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: Gy.1760

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $(1)$ -ben $\sqrt[]{2}$ helyére $a$ -t írunk, a kapott

\begin{matrix} a X + 8, 59 Y = 9, 98 \\ 1, 41 X + 8, 59 Y = 10 & (2) \end{matrix}

egyenletrendszer gyökei az

\begin{matrix} X = - \frac{0, 02}{a - 1, 41}, Y = \frac{10}{8, 59} - \frac{1, 41}{8, 59} X \end{matrix}

számok lesznek. Ebből

a = \sqrt[]{2}

helyettesítéssel kapjuk

(1)

gyökeit, és a két egyenletrendszer gyökeinek eltérésére azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} X - x = - \frac{0, 02}{a - 1, 41} + \frac{0, 02}{\sqrt[]{2} - 1, 41} = \frac{(a - \sqrt[]{2}) \cdot 0, 02}{(a - 1, 41) (\sqrt[]{2} - 1, 41)}, & (3) \\ Y - y = - \frac{1, 41}{8, 59} (X - x) . & (4) \end{matrix}

Mivel

1, 414 < \sqrt[]{2} < 1, 4143

, ha

1, 414 < a < 1, 4143

, akkor

\begin{matrix} 10^{3} | a - \sqrt[]{2} | < \frac{0, 02}{0, 0043^{2}} | a - \sqrt[]{2} | < | X - x | < \frac{0, 02}{0, 004^{2}} | a - \sqrt[]{2} | < 2 \cdot 10^{3} | a - \sqrt[]{2} | . \end{matrix}

Emiatt

| X - x | < 0, 01

, ha

| a - \sqrt[]{2} | < \frac{1}{2} \cdot 10^{- 5}

, vagyis

a

legalább

5

tizedesjegy pontossággal közelíti

\sqrt[]{2}

értékét. Mivel hat tizedesjegyre

\sqrt[]{2} = 1, 414214

, kell is ez a pontosság, mert ha

a

csak négy tizedesre közelíti

\sqrt[]{2}

-t, akkor

| a - \sqrt[]{2} | > 10^{- 5}

, és

| X - x | > 10^{- 2}

. Mivel a

(4)

-ben fellépő együttható kisebb

1

-nél,

| X - x | < 10^{- 2}

már maga után vonja, hogy

| Y - y | < 10^{- 2}

is teljesül. Tehát ahhoz, hogy a kívánt pontosságot elérjük,

\sqrt[]{2}

értékét legalább öt tizedesjegy pontossággal kell figyelembe vennünk.

Megjegyzés. Sokkal kisebb pontosság elegendő, ha előbb gyöktelenítjük

x

nevezőjét. Ekkor ugyanis

\begin{matrix} x = \frac{- 0, 02 (\sqrt[]{2} + 1, 41)}{2 - 1, 41^{2}} = - 1, 68 (\sqrt[]{2} + 1, 41), \end{matrix}

és a kívánt pontosságot akkor is megkapjuk, ha itt

\sqrt[]{2}

értékét csak két tizedesjegy pontossággal vesszük figyelembe.