Kezdőlap


Feladat:	Gy.1754	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/március: Gy.1754

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünk ekvivalens a

\begin{matrix} (\sqrt[]{2} y + z) (\sqrt[]{2} y - z) = 1 \end{matrix}

(2)

egyenlettel, ahol

z = 2 x + 1

. Ha ennek

y

z

tetszőleges megoldása, és

α

β

\begin{matrix} (\sqrt[]{2} α + β) (β - \sqrt[]{2} α) = 1 \end{matrix}

(3)

egyenlet megoldása, akkor a két egyenletet összeszorozva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (\sqrt[]{2} Y + Z) (\sqrt[]{2} Y - Z) = 1, \end{matrix}

ahol

Y = α z + β y

Z = 2 α y + β z

. A (2), (3) egyenletek tetszőleges természetes számokból álló megoldásából tehát a (2) egyenlet egy újabb természetes számokból álló megoldását kapjuk. (Az új megoldás azért tér el a régitől, mert benne

Y > y

Z > z

.) Emiatt elegendő (3) egyetlen megoldását megtalálni. Például az

α = 2

β = 3

értékek mellett az

\begin{matrix} y_{0} = 1, y_{n + 1} = 3 y_{n} + 2 z_{n}, \\ z_{0} = 1, z_{n + 1} = 4 y_{n} + 3 z_{n} \end{matrix}

sorozatot kapjuk. Mivel ennek elemei gyökei a (2) egyenletnek, vagyis

z_{n}^{2} = 2 y_{n}^{2} - 1

z_{n}

páratlan, így az

\begin{matrix} x_{n} = \frac{z_{n} - 1}{2} \end{matrix}

sorozat tagjai és egészek, és

n ≧ 1

mellett pozitívak is. Ezzel beláttuk, hogy az (1) egyenletnek valóban végtelen sok megoldása van a természetes számok halmazában.