Feladat: Gy.1753 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Cselők L. ,  Dénes L. ,  Dezsényi L. ,  Dósa Gy. ,  Gabriel Z. ,  Gyarmati A. ,  Hajnóczky Gy. ,  Horányi T. ,  Kántor Zs. ,  Keszei Zs. ,  Kiss Gy. ,  Kovács I. ,  Kramarics Z. ,  Lukáts Gy. ,  Náray Zsófia ,  Regős P. ,  Sárkány Ágnes ,  Somogyi Z. ,  Thomann T. ,  Weisz I. 
Füzet: 1978/október, 66. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Kombinációk, Variációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/március: Gy.1753

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ászt A-val, a királyt K-val, a dámát D-vel, a bubit B-vel. Könnyen belátható, hogy a következő öt esetben lesz a lapnégyes értéke 16:

a)AKDB,b)ADDD,c)KKKB,d)KKDD,e)AABB.
Ezután keressük meg azokat a négyes csoportokat, amelyeken belül összesen 4A,4K,4D,4B van.
 
I. A c) lap négyes csak egyszer szerepelhet és mellette d) nem állhat, mert akkor 5 király lenne, de a) kell, hogy legyen ‐ a 4 király miatt ‐ és hogy minden figurából meglegyen a négy, kell b) típusú és e) típusú lapnégyes is. Más elosztásban a c) típusú lapnégyes nem szerepelhet.
Ha a b) esetből indulunk ki, akkor a dámák számát vizsgálva ugyanezt kapjuk. Tehát a b) sem szerepelhet több bontásban.
 
II. A d) típusú lap négyesből vehetünk 2 db-ot, ezek mellett csak 2 e) állhat, mert e-ben sem K, sem D nincs.
Ha a d) típusú lapnégyesből csak egy van, akkor ahhoz, hogy 4K és 4D legyen az elosztásban, a további 3 játékos közül 2-nek a) típusú lapnégyest kell adnunk, és csak 2-nek. Ahhoz, hogy jó elosztásunk legyen, a negyedik csak e)-t kaphat.
Ha a II. vizsgálatot az e) típusú lapnégyes elosztásával kezdjük, és az ászok és bubik számát vizsgáljuk, akkor ugyanerre az eredményre jutunk. Sem a d) sem az e) típusú lapnégyes nem szerepelhet több kiosztásban.
Végül, ha az a) típusú lapnégyessel kezdünk és ebből négyet osztunk ki, akkor éppen jó elosztást kapunk. Tehát a négy lehetséges kiosztás:
1.cabe,2.ddee,3.daae,4.aaaa.

Természetesen külön leosztásnak számít, ha a négy lapot a négy játékos között csereberéljük. Ezek lehetséges száma az 1. esetben 4!=24, a 2. esetben 4!2!2!=6, a 3. esetben 4!2!=12, a 4. esetben pedig 4!4!=1, vagyis összesen 43 féle jó leosztás létezik.
Ha még megkülönböztetjük az egyes lapok színét is, akkor egyféle figura elosztásnál a következőképpen állhatnak össze a színek:
Az 1. esetben az első játékos 44-féleképpen, a második (32) (32), a harmadik és negyedik egyféleképpen kaphat lapot. Ez összesen 2304 eset.
A 2. esetben az első játékos (42) (42)-féleképpen kaphat lapot, a második (22) (22)-féleképpen, a harmadik (42) (42)-féleképpen, és a negyedik játékos lapja adott. Ez összesen 1296 eset.
A 3. esetben ugyanígy 44⋅34=20236-féle leosztás létezik, a 4. esetben pedig 44⋅34⋅24⋅14=331776.
Hozzátéve a játékosok közti lapcseréket is, összesen 24⋅2304+6⋅1296+12⋅20736+1⋅331776=643680-féle különböző leosztás elégíti ki a feladatban leírt követelményeket.   (V. A.)