Kezdőlap


Feladat:	Gy.1752	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zsovák Gabriella
Füzet:	1978/szeptember, 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/március: Gy.1752

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $b$ és $c$ nem relatív prímek, van közös prímosztójuk. Jelöljük ezt (vagy ezek egyikét) $p$ -vel. Mivel $p$ osztja $c$ -t, osztja az $u$ , $v$ , $w$ számok egyikét. E három számnak $b$ is szimmetrikus függvénye, így feltehetjük, hogy $p$ közülük mondjuk az $u$ -t osztja. Ekkor a

\begin{matrix} b - u (v + w) \end{matrix}

különbség mindkét tagja osztható

p

-vel, tehát a vele egyenlő

v w

szorzat is osztható

p

-vel. Emiatt

v

és

w

egyike

p

-vel osztható, tehát az

u

v

w

számok nem lehetnek páronként relatív prímek. Ezzel beláttuk, hogy ha az

u

v

w

számok páronként relatív prímek, akkor

b

és

c

relatív prímek.
Ha az

u

v

w

számok közül mondjuk

u

-nak és

v

-nek van közös

p

prímosztója, ezzel a

\begin{matrix} v (u + w) + u w \end{matrix}

összeg mindkét tagja osztható, tehát

b

is osztható

p

-vel. Nyilván osztható

p

-vel a

c = u v w

szorzat is, tehát

b

és

c

nem relatív prímek. Ezzel beláttuk, hogy a kérdés megfordítása igaz.

Zsovák Gabriella (Tata, Eötvös J. Gimn., II. o. t.)