Feladat: Gy.1751 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1978/október, 63 - 64. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/március: Gy.1751

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mondott tulajdonság ekvivalens azzal, hogy az

ax2+bx+c=x(1)
egyenletnek az a,b,c számok gyökei. Mivel egy másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző gyöke lehet, az a,b,c számok között legalább kettő egyenlő egymással. Mivel (1.)-nek az a szám gyöke, azért
ab+c=a-a3=a(1-a2).(2)

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor itt a két oldal értéke 0. Mivel kimondottan másodfokú egyenletet keresünk, a≠0, tehát most a2=1.
Ha a=1, akkor b+c=0. Ha b=c=0, ebből az x2 polinomot kapjuk. Különben b és c nem lehetnek egyenlőek, tehát közülük az egyik egyenlő a-val. Így az x2+x-1 és x2-x+1 polinomokat kapjuk, de közülük csak az első megfelelő.
Ha a=-1, akkor (2) szerint b=c, és a polinom alakja -x2+bx+b, ami tetszőleges b mellett megfelelő.
Rátérünk annak az esetnek a vizsgálatára, amikor (2) két oldalának az értéke nem 0. Ekkor b≠c, mert különben (1)-nek csak b2(a+1)=0 esetén lehetne b a gyöke, de ekkor (2) bal oldalának az értéke 0 volna. Tehát a vagy b-vel, vagy c-vel egyenlő.
Ha a=b, akkor c csak c2+c=0 esetén lehet gyöke (1)-nek. Így c értéke vagy -1 vagy 0. Az elsőt (2)-be helyettesítve visszajutunk a már megvizsgált a2=1 esetre, a másodikból az
a2+a=1(3)
egyenletet kapjuk, amelynek mindkét gyöke mellett a(x2+x) megfelelő polinom.
Ha a=c, akkor (2) szerint b=-a2. Ezt (1)-be helyettesítve ismét a már megvizsgált a+1=0 esetre jutunk vissza. Tehát a keresett polinomok a következőek:
x2,x2+x-1,-x2+bx+b,ax2+ax,
ahol b tetszőleges, a pedig (3) valamelyik gyöke.