Kezdőlap


Feladat:	Gy.1745	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázsi Ildikó , Balla 222 L. , Böröczky K. , Eszes L. , Gombos Cs. , Heckenast L. , Incze Zs. , Kappelmayer Hedvig , Károlyi Gy. , Ligeti R. , Müller Ágnes , Oláh R. , Palasik S. , Regős P. , Slenkei Gy. , Viniczay Zs.
Füzet:	1978/november, 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Különleges függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/február: Gy.1745

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a vizsgálandó összefüggésekben szereplő függvények $4$ szerint periodikusak, elég azokat a $0 \leq x \leq 4$ intervallumon vizsgálni. Bebizonyítjuk, hogy az $(1)$ összefüggés igaz. Ugyanis

\begin{matrix} {[C (x)]}^{2} = {\begin{matrix} {(1 - x)}^{2}, ha 0 \leq x \leq 1 \\ {(1 - x)}^{2}, ha 1 < x \leq 2 \\ {(x - 3)}^{2}, ha 2 < x \leq 3 \\ {(x - 3)}^{2}, ha 3 < x \leq 4 \end{matrix} {[S (x)]}^{2} = {\begin{matrix} x^{2}, ha 0 \leq x \leq 1 \\ {(2 - x)}^{2}, ha 1 < x \leq 2 \\ {(2 - x)}^{2}, ha 2 < x \leq 3 \\ {(x - 4)}^{2}, ha 3 < x \leq 4 \end{matrix} \end{matrix}

E két függvény különbségét véve, éppen a

\begin{matrix} C (2 x) = {\begin{matrix} 1 - 2 x, ha 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x - 3, ha 1 < x \leq 2 \\ 5 - 2 x, ha 2 < x \leq 3 \\ 2 x - 7, ha 3 < x \leq 4 \end{matrix} függvényt kapjuk . \end{matrix}

Ezzel tehát igazoltuk, hogy az

(1)

összefüggés teljesül. Könnyen látható, hogy a második összefüggés nem igaz, mert pl. a

[0, 1]

intervallumon a

(2)

egyenlet bal oldalán elsőfokú kifejezés áll, míg a jobb oldalon másodfokú. Azt, hogy a

(2)

összefüggés nem teljesül minden

x

érték esetén, úgy is megmutathatjuk, hogy mutatunk olyan

x

értéket, amivel az egyenlőség nem teljesül. Könnyen belátható, hogy minden egész számtól különböző

x

érték ilyen.