Kezdőlap


Feladat:	Gy.1744	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/november, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/február: Gy.1744

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A középen álló különbség első tagját $a$ és $b$ kvadratikus közepének, a másodikat $a$ és $b$ mértani közepének nevezik. Jelöljük őket $Q$ -val és $M$ -mel

\begin{matrix} Q = \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}, M = \sqrt[]{a b} . \end{matrix}

Ezek is pozitívak, és

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b = 2 (Q^{2} + M^{2}), \\ {(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b = 2 (Q^{2} - M^{2}) . \end{matrix}

Az utóbbi összefüggés miatt két pozitív szám kvadratikus és mértani közepe csak akkor egyenlő, ha maguk a számok egyenlőek, különben a kvadratikus közép a nagyobb közülük. Így

a = b

esetén

(1)

minden tagja

0

-val egyenlő. Megmutatjuk, hogy különben mindkét helyen az egyenlőtlenség jele érvényes.
Helyettesítsük a bizonyítandó egyenlőtlenségbe a

Q

M

mennyiségeket.

\begin{matrix} \frac{Q^{2} - M^{2}}{\sqrt[]{2 (Q^{2} + M^{2})}} < Q - M < 2 \frac{Q^{2} - M^{2}}{\sqrt[]{2 (Q^{2} + M^{2})}} . \end{matrix}

Mivel most

Q > M

, ha minden tagot

(Q - M)

-mel osztunk, majd

\sqrt[]{Q^{2} + M^{2}}

-nel szorzunk, az egyenlőtlenség iránya nem változik meg.

\begin{matrix} \frac{Q + M}{\sqrt[]{2}} < \sqrt[]{Q^{2} + M^{2}} < (Q + M) \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(2)

Mivel

Q

és

M

pozitív, vehetjük e tagok négyzeteit is.

\begin{matrix} \frac{Q^{2} + 2 Q M + M^{2}}{2} < Q^{2} + M^{2} < 2 (Q^{2} + M^{2} + 2 Q M) . \end{matrix}

Az első két tag különbsége

\frac{1}{2} {(Q - M)}^{2}

, ami valóban pozitív. A második két tag különbsége még a kettes szorzó nélkül is a pozitív

2 Q M

. Ezzel a feladat állításánál többet mondó

\begin{matrix} \frac{{(a - b)}^{2}}{2 (a + b)} \leq \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} - \sqrt[]{a b} \leq \frac{(a - b)}{\sqrt[]{2} (a + b)} \end{matrix}

egyenlőtlenséget is beláttuk.

Megjegyzés. Ha

(2)

első egyenlőtlenségét

\sqrt[]{2}

-vel osztjuk, a

\begin{matrix} \frac{Q + M}{2} < \sqrt[]{\frac{Q^{2} + M^{2}}{2}} \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk. Eszerint különböző pozitív számok számtani közepe kisebb a kvadratikus közepüknél. Belátható a bizonyítandó egyenlőtlenség csupán ennek felhasználásával is.