Feladat: Gy.1742 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Filus János 
Füzet: 1978/november, 133. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egészrész, törtrész függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/február: Gy.1742

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy x≠0,5, mert ellenkező esetben nincsenek értelmezve az egyenletben szereplő törtek. Szorozzuk meg az egyenletet az (x-0,5) kifejezéssel

[x](x-0,5)-(x-0,5)[x]x-0,5-6=0.

I. eset. Ha x-0,5>0, akkor x-0,5=(x-0,5)2, és így
[x](x-0,5)-[x](x-0,5)-6=0.
Ez a [x](x-0,5) kifejezésre nézve másodfokú egyenlet, amelynek a gyökei: 3 és -2. A négyzetgyökös kifejezés értéke nem lehet negatív, tehát
[x](x-0,5)=3,amiből[x](x-0,5)=9.
Az x értékét növelve nyilvánvalóan az [x](x-0,5) szorzat értéke is növekszik, mert mindkét tényező növekvő és nem negatív. Ebből következik, hogy az [x](x-0,5)=9 egyenlet megoldását a 3<x<4 intervallumon érdemes keresni. Itt [x]=3, amiből az x=3,5 következik. Ez valóban ki is elégíti az eredeti egyenletet.
 

II. eset. Ha x-0,5<0, akkor x-0,5=-(x-0,5)2, és így a következő egyenlethez jutunk:
[x](x-0,5)+[x](x-0,5)-6=0.
Az első esethez hasonlóan megoldva, most az [x](x-0,5)=2, és ebből az [x](x-0,5)=4 egyenlet adódik. Az x változó növelésével most a szorzat csökkenő, mert mindkét tényező növekvő és nem pozitív. Rögtön látható, hogy a megoldás most a -2 és -1 közé esik, ahol az [x]=-2. Tehát x=-1,5, ami valóban kielégíti az eredeti egyenletet. Összefoglalva, az egyenletnek két megoldása van, és ez az x=-1,5, illetve az x=3,5.
 

 Filus János (Kecskemét, Katona J. Gimn., II. o. t.)