Kezdőlap


Feladat:	Gy.1737	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/május, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/január: Gy.1737

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a $g$ alapú számrendszerbeli szám számjegyeit $a$ , $b$ és $c$ . Feltételünk szerint

\begin{matrix} a g^{2} + b g + c = 2 c g^{2} + 2 b g + 2 a, \end{matrix}

és itt az

a > c > 0

egyenlőtlenségnek nyilvánvalóan teljesülnie kell. Rendezzük át egyenletünket az alábbi alakra:

\begin{matrix} (a - 2 c) g^{2} = b g + (2 a - c) . \end{matrix}

(1)

a > c

egyenlőtlenségből következik, hogy

2 a - c > 0

. Mivel

b

számjegy, ezért

0 \leq b \leq g - 1

. Tehát az egyenlet jobb oldalán pozitív szám áll. A jobb oldal legnagyobb értéke

b \leq g - 1

és

2 a - c < 2 g

miatt kisebb, mint

g^{2} + g

. Mivel az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha a bal oldal is pozitív, és ennek legkisebb értéke

g^{2}

, ezért

\begin{matrix} (a - 2 c) g^{2} = b g + (2 a - c) = g^{2} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

a - 2 c = 1

b = g - 1

és

2 a - c = g

. Megoldva az egyenletrendszert

a

-ra és

c

-re, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a = \frac{2 g - 1}{3} és c = \frac{g - 2}{3} . \end{matrix}

c

csak úgy lehet pozitív egész szám, ha

g = 3 k + 2

, ahol

k

pozitív egész. Ebben az esetben

a

is egész;

a = 2 k + 1

és

b = 3 k + 1

c = k

. Ezek a számok eleget tesznek a feladat követelményeinek.
Összegezve tehát azokban a számrendszerekben lehet egyenlő egy háromjegyű szám a számjegyek fordított sorrendbe írásával keletkező szám kétszeresével, ahol a számrendszer alapszáma hárommal osztva

2

maradékot ad. Kettes alapú számrendszerben csak akkor kapunk megoldást, ha megengedjük, hogy a fordított szám első jegye

0

legyen:

110 = 2 \cdot 011