Kezdőlap


Feladat:	Gy.1731	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bejczi F. , Czifra A. , Dosa Gy. , Gulyás A. , Hidas P. , Jordán J. , Juhász Imre , Karakas J. , Kasza A. , Kávássy L. , Kelemen B. , Mádi T. , Matlák T. , Pöstyén T. , Seres I. , Umann G. , Zsovák Gabriella
Füzet:	1978/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: Gy.1731

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban a két kör szerepe azonos és sugaruk különböző, így feltehetjük, hogy például $k_{2}$ a nagyobb sugarú: $r_{1} < r_{2}$ .

Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor a körök kívülről érintik egymást. Ekkor

M_{1}

és

M_{2}

közrefogja

T

-t, és az

0_{1} M_{1}

0_{2} M_{2}

sugarak ellentétes irányúak. Ha

M_{1}

és

M_{2}

közül az egyik az

O_{1} O_{2}

egyenesen van, ott van a másik is, és

P

nem jön létre. Különben az

O_{1} M_{1} O_{2} M_{2}

négyszög olyan trapéz, amelynek

O_{1} M_{2}

M_{1} O_{2}

szárai nem párhuzamosak, hiszen a párhuzamos

O_{1} M_{1}

M_{2} O_{2}

oldalak nem egyenlők. Mivel e két oldal közül az első a kisebb, a szárak

O_{1} M_{1}

-en túli meghosszabbításai metszik egymást, itt van a

P

pont. Jelöljük a

P

-n átmenő,

O_{1} M_{1}

-gyel párhuzamos egyenes

O_{1} O_{2}

-vel alkotott metszéspontját

O

-val, ez is

O_{1} M_{1}

-nek

O_{2} M_{2}

-vel átellenes oldalán van. Emiatt az

O_{1} O_{2} M_{1}

és

O O_{2} P

háromszögek hasonlóak,

\begin{matrix} O P : O_{1} M_{1} = O O_{2} : O_{1} O_{2} = O_{2} P : O_{2} M_{1} . \end{matrix}

(1)

Ugyancsak hasonlók a

P M_{1} O_{1}

P O_{2} M_{2}

háromszögek is, emiatt

P M_{1} : P O_{2} = r_{1} : r_{2}

, tehát a fenti arányok közös értéke

\begin{matrix} O_{2} P : O_{2} M_{1} = P O_{2} : (P O_{2} - P M_{1}) = r_{2} : (r_{2} - r_{1}) . \end{matrix}

(2)

Tehát egyrészt

\begin{matrix} O P = \frac{r_{1} r_{2}}{r_{2} - r_{1}}, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} O O_{2} = \frac{(r_{1} + r_{2}) r_{2}}{r_{2} - r_{1}} . \end{matrix}

Ezek miatt

O

helyzete nem függ

e

megválasztásától, és ugyancsak független ettől

P

és

O

távolsága. Ez azt jelenti, hogy

P

rajta van az

O

középpontú,

r = r_{1} r_{2} / (r_{2} - r_{1})

sugarú körön. Megfordítva, ha

P

ennek a körnek nem az

O_{1} O_{2}

egyenesen levő, de különben tetszőleges pontja, akkor az

O P

-vel megegyező irányú

k_{1}

-beli

O_{1} M_{1}

és

O P

-vel ellentétes irányú

k_{2}

-beli

O_{2} M_{2}

sugarak végpontjai által meghatározott

M_{1}

M_{2}

pontra az

O_{1} O_{2} M_{1}

és

O O_{2} P

, valamint a

P M_{1} O_{1}

és

P O_{2} M_{2}

háromszögek hasonlóak, hiszen két‐két oldaluk párhuzamos, és ezek aránya egyenlő. Így

M_{1}

P O_{2}

és

M_{2}

P O_{1}

egyenesen vannak, és mivel

O_{1} M_{1}

O_{2} M_{2}

ellentétes irányúak,

M_{1} M_{2}

átmegy

T

-n. Az

O

középpontú,

r

sugarú körnek tehát tetszőleges, nem az

O_{1} O_{2}

egyeneshez tartozó pontja a vizsgált mértani helyhez tartozik.
Rátérünk annak az esetnek vizsgálatára, amikor

k_{1}

belülről érinti

k_{2}

-t (továbbra is feltesszük, hogy

r_{1} < r_{2}

). Most

O_{1} M_{1}

és

O_{2} M_{2}

egyirányúak, emiatt

P

és az általa meghatározott

O

köztük van. Az

O_{1} O_{2} M_{1}

és

O O_{2} P

háromszögek most is hasonlóak, tehát (1) érvényben marad, most viszont

P M_{1} O_{1}

és

P O_{2} M_{2}

O P

egyenes ellentétes oldalain vannak, hasonlóságukból tehát (2) helyett az következik, hogy

\begin{matrix} O_{2} P : O_{2} M_{1} = O_{2} P : (O_{2} P + P M_{1}) = r_{2} : (r_{2} + r_{1}) . \end{matrix}

Emiatt most

r = O P = r_{1} r_{2} / (r_{2} + r_{1})

O O_{2} = (r_{2} - r_{1}) r_{2} / (r_{2} + r_{1})

, tehát

P

az így meghatározott

O

körüli

r

sugarú kör

O_{1} O_{2}

-vel alkotott metszéspontjaitól különböző pontjait járja be.

Juhász Imre (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., II. o. t.)