Kezdőlap


Feladat:	Gy.1729	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdélyi Tamás
Füzet:	1978/április, 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: Gy.1729

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $a_{12}$ együtthatót $t$ -vel, és használjuk fel a b) és c) feltételeket. Ekkor egyenletrendszerünk a következő lesz:

\begin{matrix} \frac{1}{2} x + t y + (\frac{1}{2} - t) z = 0 \\ (\frac{1}{2} - t) x + \frac{1}{2} y + t z = 0 & (1) \\ t x + (\frac{1}{2} - t) y + \frac{1}{2} z = 0. \end{matrix}

A három egyenletet összeadva

x + y + z = 0

adódik. Ennek az egyenletnek

t

-szeresét vonjuk ki az (1) egyenletrendszer második egyenletéből és

\frac{1}{2}

-szeresét a harmadik egyenletből. Azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (\frac{1}{2} - 2 t) x + (\frac{1}{2} - t) y = 0 & (2) \\ (t - \frac{1}{2}) x - t y = 0. \end{matrix}

Itt az első egyenletet

t

-vel, a másodikat

(\frac{1}{2} - t)

-vel szorozzuk, majd összeadjuk a két egyenletet. Az

x

együtthatójának rendezése után az

\begin{matrix} (- 3 t^{2} + \frac{3}{2} t - \frac{1}{4}) x = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk.
Ez utóbbi egyenlet együtthatóját

[- 3 {(t - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}]

alakba írhatjuk, amelyről leolvasható, hogy ez az együttható minden

t

érték esetén negatív, tehát

x = 0

. Ezt a (2) egyenletrendszer valamelyik egyenletébe helyettesítve azonnal adódik, hogy

y = 0

, és ezért

z = 0

. Ez az egyenletrendszer egyetlen megoldása.

Megjegyzés. Ez a feladat a P. 294. pontversenyen kívüli probléma speciális esete (lásd e szám 166. oldalán). Szemben az általános esettel, itt nem kellett felhasználni az a) feltételt.