Kezdőlap


Feladat:	Gy.1728	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/április, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: Gy.1728

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nézzük meg először, mi a feltétele annak, hogy az első egyenlőség azonosság legyen. Felhasználva a műveletek értelmezését, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (α a + β b) * c = α (a * c) + β (b * c), \end{matrix}

és

\begin{matrix} γ (α a + β b) + δ c = α (γ a + δ c) + β (γ b + δ c) . \end{matrix}

A műveletek elvégzése és rendezése után

\begin{matrix} δ c (α + β - 1) = 0. \end{matrix}

Ez az egyenlőség akkor azonosság, ha

\begin{matrix} δ = 0 vagy α + β = 1. \end{matrix}

A másik egyenletet hasonló módon rendezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} β c (γ + δ - 1) = 0, \end{matrix}

ami tetszőletes

c

számra akkor teljesül, ha

\begin{matrix} β = 0 vagy γ + δ = 1. \end{matrix}

Mindkét egyenlet egyszerre azonosság az alábbi négy esetben:

β = 0

és

δ = 0

, azaz

a \circ b = α a

és

a * b = γ a

β = 0

és

α + β = 1

, vagyis

α = 1

. Ekkor

\begin{matrix} a \circ b = a és a * b = γ a + δ b . \end{matrix}

δ = 0

és

γ + δ = 1

, vagyis

γ = 1

. Ekkor

\begin{matrix} a \circ b = α a és a * b = a . \end{matrix}

α + β = 1

és

γ + δ = 1

.
Ekkor

(a \circ b)

és

(a * b)

a

és

b

számok súlyozott közepe.