Feladat: Gy.1724 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1978/március, 113. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/november: Gy.1724

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy a háromszög területe t=a⋅m2 , ezért azt kell megnézni, hogy adott α szög és m magasság mellett mikor lesz az α-val szemközti a oldal hossza minimális. Azt fogjuk belátni, hogy ez akkor következik be, ha a háromszög egyenlő szárú, mégpedig úgy, hogy a szárak közös csúcsa az A.

 




 

Vegyük fel e célból az a alapú, m magasságú egyenlő szárú háromszöget, majd tekintsünk egy másik háromszöget, amelynek az α-val szemközti oldalának hossza B'C'=a'≠a, magassága m, és B' csúcsnál levő szöge β. Az ABC egyenlő szárú háromszög köré írt körön van olyan A' pont, amelyre A'BC∢=β. Az A'-ből kiinduló m' magasságra nyilván m'<m. Az A'BC és AB'C' háromszögek hasonlóságából m'<m miatt a<a' következik.
Így az AB'C' háromszögben a'>a, vagyis területe nagyobb, mint az egyenlő szárú háromszögé.