Kezdőlap


Feladat:	Gy.1723	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ács J. , Andrejcsik Ilona , Angyal T. , Beleznay F. , Bereznai M. , Beró Éva , Bodócs A. , Bozsik T. , Cselők L. , Czifra A. , Czimmer Aranka , Erdélyi-Szabó M. , Horváth 169 T. , Jordán J. , Juhász 665 I. , Karakas J. , Kávássy L. , Kiss 352 Gy. , Kurusa Á. , Liszkai S. , Magyar G. , Nagy 791 Á. , Seres I. , Számadó I. , Tésik P. , Tóth 555 T. , Tóth 707 A. , Várnagy Katalin , Zsovák Gabriella , Öreg E. Zs.
Füzet:	1978/március, 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: Gy.1723

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög $A$ , $B$ , $C$ csúcsainál levő szögeit $α$ , $β$ , $γ$ -val, mivel $A C < B C$ , $β < α$ . Ez a feltétel biztosítja, hogy $β$ "belefér'' $α$ -ba, tehát $D$ felvehető a $B C$ oldalon úgy, hogy $C A D ∢ = β$ legyen.

Számítsuk ki az

A C_{0} D

háromszög

C_{0} D

oldalán levő szögeit:

\begin{matrix} A C_{0} D ∢ = C_{0} B D ∢ + C_{0} D B ∢ = β + C_{0} D B ∢ \\ A D C_{0} ∢ = D A C ∢ + A C D ∢ - C_{0} D B ∢ = β + γ - C_{0} D B ∢ . \end{matrix}

C_{0} D

párhuzamos a

C

szög belső szögfelezőjével, akkor

C_{0} D B ∢ = γ / 2

, tehát mindkét szög értéke

β + γ / 2

. Megfordítva, ha ez a két szög egyenlő, akkor

C_{0} D B ∢ = γ / 2

, és

C_{0} D

párhuzamos a szögfelezővel. Azt kell tehát már csak megvizsgálnunk, hogy mikor lesz a két szög egyenlő, vagyis mikor lesz

A D = A C_{0} .

A D C

háromszög hasonló az

A B C

háromszöghöz, hiszen két szögük egyenlő. Emiatt

A D : A B = A C : B C

, és így

A D = A C_{0} = \frac{1}{2} A B

pontosan akkor teljesül, ha

A C = \frac{1}{2} B C