Kezdőlap


Feladat:	Gy.1720	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1978/március, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Oszthatósági feladatok, Szakaszos tizedestörtek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: Gy.1720

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk át az $(1)$ egyenlet tizedes törtjeit racionális tört alakba. Akkor az

\begin{matrix} {(a + \frac{b}{9})}^{2} = c + \frac{7}{9} \end{matrix}

(1a)

egyenlethez jutunk. A négyzetre emelést elvégezve és

9

-cel szorozva a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 9 a^{2} + 2 a b + \frac{b^{2}}{9} = 9 c + 7. \end{matrix}

(1b)

Mivel

a

és

c

pozitív egész, ezért a

\frac{b^{2}}{9}

-nek is egész számnak kell lennie, tehát

b

osztható hárommal. De

b

nem lehet sem

0

, sem

9

, mert akkor az

(1)

egyenlet bal oldalán egész szám állna, míg a jobb oldalon tört van. Így

b

csak

3

vagy

6

lehet. Vizsgáljuk meg ebben a két esetben a második feltételt is.
I. Ha

b = 3

, akkor az (1b) egyenletbe helyettesítve és

c

-t kifejezve :

\begin{matrix} c = \frac{3 a^{2} + 2 a - 2}{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{c + a}{c - a} = \frac{3 a^{2} + 5 a - 2}{3 a^{2} - a - 2} = \frac{(a + 2) (3 a - 1)}{(a - 1) (3 a + 2)} . \end{matrix}

3 a - 1

és a

3 a + 2

különbsége

3

, így közös osztójuk

3

-nak is osztója. Másrészt

3 a - 1

nem osztható

3

-mal, így ezek relatív prímek. Tehát a

(2)

feltétel csak úgy teljesülhet, ha

3 a + 2

osztója a nála kisebb

(a + 2)

-nek, ami nem lehet. Összegezve :

b = 3

esetén nincs a feladat feltételeinek eleget tevő számhármas.
II. Ha

b = 6

, akkor az (1b) egyenletbe helyettesítve és

c

-t kifejezve

\begin{matrix} c = \frac{3 a^{2} + 4 a - 1}{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{c + a}{c - a} = \frac{3 a^{2} + 7 a - 1}{3 a^{2} + a - 1} = 1 + \frac{6 a}{3 a^{2} + a - 1} . \end{matrix}

Ahhoz, hogy ez egész szám legyen, szükséges, hogy

\begin{matrix} 6 a ≧ 3 a^{2} + a - 1 \end{matrix}

legyen, amiből a

\begin{matrix} 3 a^{2} - 5 a - 1 ≦ 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlőtlenséget kapjuk, amelynek megoldása:

\begin{matrix} \frac{5 - \sqrt[]{37}}{6} ≦ a ≦ \frac{5 + \sqrt[]{37}}{6} . \end{matrix}

Ebbe az intervallumba egyetlen pozitív egész szám esik, az

1

. Ha

a = 1

b = 6

, akkor

c = 2

, és ez a számhármas az egyetlen, amelyik a feladat minden követelményének eleget tesz.