A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a körülírt kör sugarát -rel, a beírt kör sugarát -rel, és az adott szöget -val. A szerkesztés során felhasználjuk, hogy és egyértelműen meghatározza a háromszög oldalát.
Vegyük fel a kört, rajzoljuk bele az szöget, ezzel megkaptuk a keresett háromszög és csúcsát. A kör sugara ismeretében keressük középpontjának mértani helyét. Ez egyrészt a egyenestől távolságban húzott párhuzamos egyenesen, másrészt a szakasz fölé írt szögi látóköríven van. A szakasz a kört két részre osztja, a két körív valamelyikéhez tartozik, aszerint, hogy hegyesszög vagy tompaszög. A beírt kör középpontját a szakasz ugyanazon oldalán kell keresnünk, amelyiken az is fekszik. A két mértani hely közös pontja (amennyiben létezik) megadja középpontját. Megrajzoljuk -et, majd és pontokból érintőt szerkesztünk -hez, ezek metszik ki -ból az csúcsot. Az így kapott háromszög nyilván eleget tesz a feltételnek, csupán azt kell belátnunk, hogy az érintők metszéspontja rajta van a körön. Jelöljük a kör középpontját -gyel. és az háromszögben szögfelezők, így
Tehát valóban a szakaszhoz és szöghöz tartozó látóköríven van. Ha a feladatnak van megoldása, akkor általában kettő van, s ezek a felezőmerőlegesre szimmetrikusak. Egy megoldás van, ha a látókörív éppen érinti a párhuzamost, és nincs megoldás, ha nincs közös pontjuk. Vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Nyilván és mellett jöhet létre csak háromszög. Jelöljük felezőpontját -vel, a középpontját -val, -nek a látókörívvel való metszéspontját -val. Ekkor
és mivel r≦FH≦Rsinαtg(45∘+ α4) = 2R sin α2(1 + sin α2).
II. megoldás. Induljunk ki az α szögből, és szárai közé szerkesszük meg az r sugarú k1 beírt kört. Mivel az α-val szemközti oldal hossza a k körülírt kör R sugarával adott, ehhez a körhöz kell adott hosszúságú érintőt szerkeszteni. Gondoljuk a feladatot megoldottnak, és rajzoljuk meg a BC oldal külső érintő körét, k2-t. Érintse az AB egyenest a k1 kör E1-ben, a k2 az E2-ben. Ismeretes, hogy AE2=s (ahol s a háromszög félkerülete) AE1=(s-a), ahonnan
A szerkesztést ezután úgy végezhetjük el, hogy az E1 ponttól továbbhaladva az AE1 félegyenesen felmérjük az E1E2=a távolságot. Megrajzoljuk az E2-ben érintő k2 kört, majd k1, k2 körökhöz közös belső érintőt szerkesztünk. A feladat megoldásainak száma 2, 1 vagy 0, aszerint, hogy a k1, k2 köröknek nincs közös pontjuk, érintik egymást, vagy két közös pontjuk van. Könnyű belátni, hogy az így kapott háromszög eleget tesz a feltételnek. |