Kezdőlap


Feladat:	Gy.1712	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1978/március, 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/október: Gy.1712

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Összesen $3 k$ hordónk van, így minden teherautóra $k$ hordót kell raknunk. Ez eleve biztosítja, hogy a terhelésnek a hordók súlyából származó része egyforma, így csak a hordókban levő bor súlyát kell kiegyenlítenünk. Jelöljük egy tele hordónyi bor súlyát $H$ -val, akkor minden teherautóra $H / 2$ súlyú bort kell tennünk. Tegyünk mondjuk az egyes teherautókra $A$ , $B$ , $C$ teli hordót, akkor egyrészt

\begin{matrix} A + B + C = k, \end{matrix}

(1)

másrészt ezek súlya nem lehet

H / 2

-nél nagyobb, tehát

\begin{matrix} A ≦ k / 2, B ≦ k / 2, C ≦ k / 2. \end{matrix}

(2)

Ha azt akarjuk, hogy minden teherautón

H / 2

súlyú bor legyen, az egyes teherautókra rendre

(k - 2 A)

(k - 2 B)

(k - 2 C)

félig telt hordót kell tennünk.

(2)

miatt ezek a számok nem negatívak, és

(1)

miatt így éppen kiosztottuk a félig telt hordókat. Tegyünk végül az egyes teherautókra

A

B

C

üres hordót, és készen is vagyunk (mivel minden teherautóra összesen

k

hordót kell tennünk, más lehetőségünk nincs is). A lehetőségek száma tehát egyenlő az

(1), (2)

feltételeknek eleget tevő, nem negatív egészekből álló számhármasok számával, ha csak a számok sorrendjében különböző számhármasokat nem tekintjük különbözőknek. Ha

k = 7

, két felbontás van:

3 + 3 + 1

és

3 + 2 + 2