Feladat: Gy.1711 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1978/február, 71 - 72. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenség-rendszerek grafikus megoldása, Abszolútértékes egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/október: Gy.1711

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha x+1 és y-1 előjele megegyezik, abszolút értékeik összege egyenlő összegük abszolút értékével, így ebben az esetben (2) azt jelenti, hogy

|x+y|=4.(2a)
Ez azonban ellentmond (1)-nek, hiszen |x+y|≤|x|+|y|, így ahol (2a) teljesül, ott (1) bal oldalának az értéke legalább 8.
Ha (x+1) és (y-1) előjele különbözik, abszolút értékeik összege egyenlő különbségük abszolút értékével, így ebben az esetben (2) azt jelenti, hogy
|x-y+2|=4.(2b)
Eszerint (x-y) vagy 2-vel vagy (-6)-tal egyenlő. Helyettesítsük az első esetben (1) bal oldalán x-et a vele egyenlő (y+2)-vel:
|y+2|+|y|+2|y+1|≤6.(3)


Ha |y+1|≤1, ez eleve teljesül, hiszen ekkor y≤0≤y+2, és így |y+2|+|y|=y+2-y=2, és (3) bal oldalának az értéke legfeljebb 4. Ha |y+1|>1, akkor |y|+|y+2|=2|y+1|, így (3) azt jelenti, hogy |y+1|≤1,5. Tehát
-2,5≤y≤0,5,x=y+2(4)
számpárokra teljesül (1), és mivel ezekre x+1>0, y-1<0, (2) is teljesül rájuk.
Ha x-y=-6, akkor |x-y|≤|x|+|y| miatt (1) csak úgy teljesül, ha |x-y|=0, vagyis
x=-3,y=3.(5)
Mivel itt (x+1) és (y-1) különböző előjelű, (2) is teljesül erre a számpárra. Ezzel az összes lehetőségét megvizsgáltuk, és azt kaptuk, hogy az (1), (2) egyenlőtlenségrendszer megoldását a (4), (5) számpárok adják.
 
 

Megjegyzés. Úgy is megoldhatjuk a feladatot, hogy megkeressük az x, y koordináta-rendszerben külön az (1)-nek és külön a (2)-nek eleget tevő pontok halmazát, és vesszük e két halmaz közös részét.