Feladat: Gy.1709 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1978/január, 20 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Oldalfelező merőleges, Paralelogrammák, Síkgeometriai szerkesztések, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/szeptember: Gy.1709

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a pontokat A-val, B-vel, az egyenest e-vel, a keresett szakasz végpontjait C-vel, D-vel. Feltevésünk szerint A és B rajta van a CD szakasz feletti α szögű látókörívek egyikén, és mivel AB∥e, ugyanazon vannak rajta, és az AB, CD szakaszok f felezőmerőlegese azonos. Tükrözzük B-t e-re, a kapott B* pontot A-nak e és f O metszéspontjára való tükrözéssel is megkaphattuk volna. Az ACB*D négyszög tehát centrálszimmetrikus, centruma O. Emiatt az A-nál és D-nél levő szögei egymást 180∘-ra egészítik ki, ADB*∢=ACB*∢=180∘-α.

 

A szerkesztés menete a következő. Tükrözzük B-t e-re, kapjuk B*-ot.
Megrajzoljuk az AB* szakaszhoz és a 180∘-α látószöghöz tartozó látóköríveket. Ezek egy‐egy pontban metszik e-t, C-ben és D-ben, CD a keresett szakasz.
A feladat nyilván csak 0<α<180∘ mellett oldható meg. Ha 0<α<180∘, mindig pont egy CD szakaszt kapunk a szerkesztésből, hiszen a (180∘-α) látószöghöz tartozó körívek mindegyike az e egyenes ellentétes partjain levő A, B* pontokat kötik össze. A metszéspontból kapott CD szakasz megfelelő, mert ACB*D paralelogramma a szerkesztés miatt, benne CAD∢=CB*D∢=α és CBD∢=CB*D∢.
 

Megjegyzés. Centrális hasonlósággal is megoldható a feladat. Egy tetszőleges, O-ra szimmetrikus C'D' szakasz fölé AB-vel azonos oldalon megrajzoljuk az α látószöghöz tartozó körívet, majd ezt az OA, OB félegyenesekkel metsszük. A kapott A', B' metszéspontokat rendre A-ba, B-be vivő, O centrumú hasonlóság C'D'-t a keresett CD szakaszba viszi.