Feladat: Gy.1706 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajnóczy Ildikó ,  Balázsi Ildikó ,  Balla 222 L. ,  Bíró B. ,  Bogár P. ,  Cserhádi Ilona ,  Csikós Zs. ,  Czibor Ildikó ,  Czimmer Aranka ,  Doma J. ,  Dosa Gy. ,  Elek G. ,  Farkas Eszter ,  Fodor Erzsébet ,  Gáti Zs. ,  Groma Virág ,  Heckenast Z. ,  Hegyi Z. ,  Hollósi J. ,  Horváth 376 Zs. ,  Horváth 526 J. ,  Horváth Andrea ,  Horváth Beáta ,  Hosszú G. ,  Incze Zs. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Károlyi Gy. ,  Kerényi I. ,  Kovács Krisztina ,  Lados P. ,  Laki Éva ,  Madarász J. ,  Magyar G. ,  Molnár 829 I. ,  Ódor 471 T. ,  Pásztor Z. ,  Pulai S. ,  Supor M. ,  Süvegh G. ,  Szabó 576 G. 
Füzet: 1978/január, 17 - 19. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diszkusszió, Sokszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/szeptember: Gy.1706

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ismert oldalak vagy mind egymás után csatlakoznak, vagy kettőjük szomszédos, a harmadik pedig a két további (ismeretlen) oldal között van.
Mindkét esetben a szerkesztést egyértelművé teszi, hogy a 3 egymás utáni oldal közül melyiket választjuk középsőnek, illetve a többiektől elválasztottnak. Így legfeljebb 23=6 szerkesztést kell megvizsgálnunk, de előfordulhat, hogy egyes megválasztások mellett nem jön létre ötszög.
I. Legyen a középső oldal AB=1 egység. Ennek végpontjaiban felmérjük a 108-os szöget, s ezek új szárára felmérjük a BC=3, EA=2 egységet. A végpontokba újra 108-os szögeket mérve, e szárak metszéspontjai adják az 5. csúcsot (1 ábra).

 
 
Ugyanígy történik a szerkesztés, ha a középső szakasz 2, illetve 3 egység (2., 3. ábra). Így 3 különböző ötszöget kapunk.
 

II. Most vizsgáljuk azt az esetet, amelyben a 2 egységnyi oldal külön áll az ED helyén:
AB=1, BC=3 (1. ábra) E'D'=2, nyilván E'D'ED. Ha tehát ED-re az ED1=2 egység távolságot mérjük és a végponton át EA-val párhuzamost húzunk, ez metszi ki a CD félegyenesből a megfelelő D' pontot.
Ezzel egy általános eljárást is adtunk a további esetek megszerkesztéséhez, amikor külön van az 1 egységnyi, illetőleg a 3 egységnyi oldal.
A 2. ábra a szerkesztést abban az esetben mutatja be, amikor az 1 egység van külön.
 
 
3. ábra
 
 
3.a ábra
 

A 3.a ábráról leolvashatjuk, hogy a 3 egységnyi oldal nem állhat külön, mert ha ED1=3, a D1-en át az EA-val húzott párhuzamos nem fogja metszeni a CD félegyenest. Ezt igazolhatjuk a következőképpen: húzzunk a C ponton át ED-vel párhuzamost, EDCC1 egyenlő szárú trapéz és C1CED. Az AC1C háromszögben C1 szög tompaszög, így a vele szemben levő oldal a legnagyobb, azaz AC>C1C. Az ABC háromszögben AC<AB+BC=3, amiből 3>AC>C1C>ED. Vagyis csak akkor jöhet létre ötszög, ha ED<3.
Tehát a megfelelő ötszögek száma: 5.
 

Megjegyzés. A versenyzők egy része nem rajzolta meg az ötszögeket, csak valamilyen módon megpróbálta megszámolni, hogy az összes lehetséges eset közül mely ötszögek a különbözők.
A nem versenyszerű dolgozatok egy része nem önálló munka, másrészt hiányzik az osztály, esetleg iskola, név. Mivel E betűvel jelzett gyakorlatra csak általános iskolás és első osztályos tanulóktól fogadunk el megoldásokat, ezért különösen fontos, hogy versenyzőink felírják az osztályukat is a név, iskola mellé.