Kezdőlap


Feladat:	Gy.1705	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/április, 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Abszolútértékes egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/szeptember: Gy.1705

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) egyenlet fennáll, ha az abszolút érték jeleken belüli kifejezések vagy egyenlőek, vagy egymás ellentettjei. Ennek megfelelően a két megvizsgálandó eset:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 5 = 2 x + 2 y - 4, \end{matrix}

(2)

vagyis

\begin{matrix} {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 6 y \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 5 = - 2 x - 2 y + 4, \end{matrix}

(3)

vagyis

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 y . \end{matrix}

A (2) és (3) egyenletek bal oldala négyzetszámok összege, tehát nem negatív, így az egyenletek jobb oldalainak értéke sem lehet nullánál kisebb. Emiatt

y

nem lehet negatív szám.
Ezzel ekvivalens átalakításaink, valamint az (1) egyenlet

x

-re és

y

-ra való szimmetriája ‐ tehát

x

és

y

felcserélhetősége ‐ miatt a feladat állítását beláttuk.
Megjegyzés. Az (1) egyenlet bal oldala az

(x, y)

koordináta‐rendszer (2, 2) középpontú,

\sqrt[]{3}

sugarú

k_{1}

körvonalán, a jobb oldal pedig az

x + y = 2

egyenletű

e

egyenesen egyenlő 0-val. (2) a (3, 3) középpontú, 3 sugarú

k_{2}

kör egyenlete, (3) pedig az (1, 1) középpontú, 1 sugarú köré,

k_{2}

és

k_{3}

metszéspontjai (természetesen) azonosak

k_{1}

és

e

metszéspontjaival. Állításunk geometriai jelentése az, hogy a

k_{2}

k_{3}

körök a pozitív sík‐negyedben vannak, pontosabban mondva az

x

y

tengelyek pozitív felével kiegészített pozitív síknegyedben.