Feladat: Gy.1703 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1978/március, 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Logikai feladatok, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/szeptember: Gy.1703

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

k=1-re a feladat nem oldható meg, mert három különböző súlyt három egyenlő súlyú részre nem lehet elosztani. Ha k páros, vagyis k=2m egy m természetes számra, akkor tegyünk az első és második teherautóra m db üres és m db teli hordót, a harmadikra pedig a maradékot: az összes félig telit. Ha k>1 és páratlan, vagyis k=2m+1 egy m természetes számra, akkor tegyünk az első és második autóra m db üreset, m db telit, 1 db félig telit, a harmadikra pedig a maradékot: 1 db üreset, 1 db telit és (k-2) db félig telit. Világos, hogy így minden teherautóra átlagosan k db félig telt hordó kerül, tehát a terhelés egyenlő.
Következésképpen a feladat k=1 mellett nem oldható meg, és minden egynél nagyobb k egész szám esetén megoldható.

 

Megjegyzések. A beküldött dolgozatokban a hordók elosztásának sokféle módszerét olvashattuk. Ezek közül néhány ötletet megmutatunk.
1. Létezik olyan m természetes szám, amelyre k/4<m<k/2, ha k≧2.. Tegyünk az első és második teherautóra egyaránt m db üres és m db teli hordót, és (k-2m) db félig telit, a harmadikra pedig a maradékot.
2. 2 db hordó elosztható a következő módon: elsőre, másodikra 1‐1 üres és teli, a harmadikra 2 db félig teli. Páros k esetén e módszer ismétlésével osszuk el a hordókat. Páratlan k esetén k≧3 vegyünk el a hordókból 3-at, és tegyünk minden autóra fajtánként egyet. A maradék páros, tehát az előző módszerrel elosztható.
3. Minden k≧2 esetén k 3i+2j alakba írható, ahol i és j nem negatív egész. Elég tehát k=2 és k=3 esetén megmutatni az egyenletes eloszlást, majd ezeket j-szer, illetve i-szer megismételni.
4. Teljes indukcióval: 2 db hordót el tudunk osztani. Ha valamely k-ra elosztható, akkor (k+1)-re a következőképpen: az egyik autóról elveszünk egy félig telit és felteszünk a helyére egy üreset és egy telit. A maradék két felet feltesszük a másik két autóra.