Feladat:	Gy.1700	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bacsi Zsuzsanna ,  Benkó B. ,  Blázsik Z. ,  Bölcsföldi L. ,  Csanaki V. ,  Csikós B. ,  Csordás A. ,  Deák Anna ,  Fazekas G. ,  Filakovszky P. ,  Fordán T. ,  Gaál I. ,  Gát Gy. ,  Gyuris Zs. ,  Hajnal P. ,  Horváth A. ,  Horváth M. ,  Kántor S. ,  Kántor Zs. ,  Karacs F. ,  Kassa J. ,  Kiss 352 Gy. ,  Lukács Erzsébet ,  Nagy G. ,  Németh R. ,  Pető J. ,  Pintér F. ,  Pirkó J. ,  Pósafalvi A. ,  Pyber L. ,  Ruisz T. ,  Sali A. ,  Spilkó J. ,  Szabó 284 Sándor ,  Szabó A. ,  Szegedy M. ,  Tóth Abonyi M. ,  Tóth T. ,  Urbán A. ,  Vágvölgyi S. ,  Vajda M. ,  Varga 711 G. ,  Varga J. ,  Varga Lívia ,  Varga T. ,  Verő Mária ,  Veszprémi G.
Füzet:	1978/január, 15 - 16. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: Gy.1700

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Legyen $PQ$ az ötszög leghosszabb átlója (vagy a leghosszabbak egyike, ha több leghosszabb van), és jelöljük a $P$-hez, $Q$-hoz csatlakózó másik átló másik végpontját $R$-rel, illetve $S$-sel. Megmutatjuk, hogy a $PQ$, $PR$, $QS$ szakaszokból mindig szerkeszthető háromszög. Ehhez azt kell belátni, hogy a három szakasz között bármelyik kettő összege nagyobb a harmadiknál. $PQ$ választása miatt $PQ\ge PR$, $PQ\ge QS$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle PQ+QS>PR\mathrm{,}PQ+PR>QS\mathrm{.}}\end{array}$ Be kell még látni, hogy $PQ<PR+QS$. Mivel az ötszög konvex, a $PR$, $QS$ szakaszok metszik egymást. Jelöljük a metszéspontjukat $M$-mel. $PQ$ már a $PQM$ háromszög $PM$, $QM$ oldalainak az összegénél kisebb, így valóban kisebb az ezeknél rendre nagyobb $PR$, $QS$ szakaszok összegénél is.