Kezdőlap


Feladat:	Gy.1699	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/november, 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: Gy.1699

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Betűzzük a trapéz csúcsait úgy, hogy $\bar{A B} = \bar{B C} = \bar{D C} = 1$ , $\bar{A D} = \sqrt[]{2}$ . Jelöljük a körülírt kör középpontját $O$ -val, a $B A D ∢$ -et $α$ -val, $B$ vetületét az $A D$ oldalra $B'$ -vel, $O$ -ból a $B D$ -re bocsátott merőleges talppontját $F$ -fel.

B O F_{▵} \sim B A B'_{▵}

B O D ∢ = 2 α

a kerületi szögek tétele szerint, s mivel

B O D

háromszög egyenlő szárú,

\begin{matrix} B O F ∢ = α . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} r = \bar{B O} = \bar{B F} \cdot \frac{\bar{B A}}{\bar{B B'}} . \end{matrix}

(1)

Számítsuk ki a szükséges szakaszok hosszát.

\bar{B A} = 1

B B'

távolságot a

B B' A

háromszögből,

\bar{B F} = \frac{1}{2} \bar{B D}

-t a

B B' D

derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétel felhasználásával számíthatjuk ki.

\begin{matrix} \bar{B B'} = \sqrt[]{{\bar{B A}}^{2} - {\bar{B' A}}^{2}} = \sqrt[]{1 - {(\frac{\sqrt[]{2} - 1}{2})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{2 \sqrt[]{2} + 1}{4}} . \\ \bar{D B} = {\bar{B B'}}^{2} + {\bar{D B'}}^{2} = \sqrt[]{{\sqrt[]{\frac{2 \sqrt[]{2} + 1}{4}}}^{2} + {(\frac{2 \sqrt[]{2} - (\sqrt[]{2} - 1)}{2})}^{2}} = \sqrt[]{\sqrt[]{2} + 1} . \end{matrix}

(1)-be helyettesítve

\begin{matrix} r = \frac{\sqrt[]{\sqrt[]{2} + 1}}{\sqrt[]{2 \sqrt[]{2} + 1}} = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{2} + 3}{7}} = 0, 794. \end{matrix}