Kezdőlap


Feladat:	Gy.1697	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/december, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Prímszámok, Számsorozatok, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: Gy.1697

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $1$ -estől balra lefelé induló átlóban a páratlan négyzetszámok szerepelnek. Ez nem meglepő: mindegyik szám egy $1$ középpontú, páratlan oldalszámú négyzet utolsó kockájában szerepel. A $9$ -es oszlopában álló számok közül a $10$ az előző saroktól egy, a $27$ kettő, az $52$ három mezőnyire van; általában a ${(2 k + 1)}^{2}$ sorszámú saroktól $k$ mezővel kell továbbmennünk. Így a $9$ -es alatti oszlopban levő számok

\begin{matrix} {(2 k + 1)}^{2} + k = (k + 1) (4 k + 1) (k \geq 1) \end{matrix}

két, egynél nagyobb egész szám szorzataként írhatók fel, és így valóban nem prímek. A

24

-es alatti oszlopban a

26

-tal kezdve az

1

-gyel kisebb számok állnak, vagyis a

\begin{matrix} {(2 k + 1)}^{2} + k - 1 = k (4 k + 5) (k \geq 2) \end{matrix}

számok. Láthatóan ezek is összetett számok. Végül a

25 = 5 \cdot 5

szintén összetett szám, amivel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. Ugyanígy mutatható meg, hogy például a

284

alatti oszlopban, vagy a

14

-estől, valamint

55

-östől jobbra levő sorban sincs prímszám.