Kezdőlap


Feladat:	Gy.1696	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/január, 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: Gy.1696

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Láthatjuk, hogy ha $x = y$ , akkor (1) teljesül, (2)-ből pedig

\begin{matrix} x = y = \sqrt[5]{105, 5} \end{matrix}

megoldása az egyenletrendszernek. A továbbiakban feltesszük, hogy

x \neq y

, így (1)-et

(y - x)

-szel oszthatjuk:

\begin{matrix} x y (x + y) (x^{2} + y^{2}) = - 78. \end{matrix}

(1')

Eszerint sem

x

, sem

y

nem lehet nulla, így beszélhetünk a

\begin{matrix} v = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \end{matrix}

(3)

számról. Próbáljuk ezt becsempészni egyenleteinkbe. (1)-ből

\begin{matrix} - 78 = x^{2} y^{2} (x + y) \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} = x^{2} y^{2} (x + y) v, \end{matrix}

illetve (2)-ből

\begin{matrix} 211 = (x + y) (x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4}) = \\ = x^{2} y^{2} (x + y) (\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 2 - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} - 1) = x^{2} y^{2} (x + y) (v^{2} - v - 1) . \end{matrix}

Ezeket összevetve kapjuk, hogy

v

-nek teljesítenie kell a

\begin{matrix} 211 v = - 78 (v^{2} - v - 1) \end{matrix}

egyenletet, azaz

v

értéke csak

6 / 13

vagy

- 13 / 6

lehet. Ennek alapján (3)-ből

x / y

lehetséges értékeire

- 3 / 2

és

- 2 / 3

adódik, amiből (2) szerint

\begin{matrix} x = 3, y = - 2 vagy x = - 2, y = 3. \end{matrix}

Ezek az értékek (1)-et is teljesítik, tehát az

x = y = \sqrt[5]{211}

-gyel együtt az egyenletrendszer összes megoldását adják.