Osztályozzuk a prímszámokat aszerint, hogy $3$-mal osztva mennyi maradékot adnak. Egy-egy osztályból legfeljebb két számot vehetünk ki, hiszen ha három prímszám $3$-mal osztva egyenlő maradékot ad, akkor az összegük osztható $3$-mal (és nyilván nagyobb, mint $3$). Ha mindegyik osztályból vennénk egyet, akkor azok összege ismét osztható lenne $3$-mal (és több lenne, mint $3$). Tehát legfeljebb két osztályból vehetünk számokat, és mindegyikből legfeljebb két számot vehetünk ki. Így legfeljebb $4$ prímszámról lehet szó.
Négy ilyen prím valóban létezik, amit a 7, 11, 13, 23 vagy a 19, 23, 37, 41 példák mutatnak.