Kezdőlap


Feladat:	Gy.1691	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1977/november, 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: Gy.1691

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy $S$ -nek $x = 71$ mellett van minimuma. Itt ugyanis $S$ értéke $83$ , és ha $x > 71$ , akkor

\begin{matrix} S ≧ (x - 13) + (x - 58) + (x - 71) + (75 - x) + (79 - x) = (x - 71) + 83 > 83, \end{matrix}

hiszen tetszőleges

a

számra

| a | ≧ a

is,

| a | ≧ - a

is igaz. Hasonlóan kapjuk, hogy ha

x < 71

, akkor

\begin{matrix} S ≧ (x - 13) + (x - 58) + (71 - x) + (75 - x) + (79 - x) = (71 - x) + 83 > 83. \end{matrix}

Megjegyzés. Tetszőleges

a_{1} ≦ a_{2} ≦ ... ≦ a_{n}

számok mellett az

\begin{matrix} S = | a_{1} - x | + | a_{2} - x | + ... + | a_{n} - x | \end{matrix}

összegnek

x = a_{k}

mellett van minimuma, ha

n = 2 k - 1

, ha pedig

n = 2 k

S

értéke

a_{k}

és

a_{k + 1}

között állandó, máshol mindenütt nagyobb.