Kezdőlap


Feladat:	Gy.1690	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/november, 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: Gy.1690

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $a b$ páros, akkor $a$ és $b$ közül az egyik páratlan, a másik páros, vagy mindkettő páros.
Az első esetben $a^{2} + b^{2}$ kettőnél nagyobb páratlan szám, alkalmas $k ≧ 1$ választásával

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 2 k + 1 = {(k + 1)}^{2} - k^{2}, \end{matrix}

így

d = k + 1

c = k

a feladat követelményeinek megfelel.
A második esetben

a^{2} + b^{2}

négynél nagyobb,

4

-gyel osztható szám. Tehát ismét alkalmas

k ≧ 1

választással

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 4 k + 4 = {(k + 2)}^{2} - k^{2}, \end{matrix}

így

d = k + 2

c = k

a követelményeknek ismét megfelel.
Végül ha

a b

páratlan, akkor

a

és

b

is páratlan, vagyis

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 4 [{(\frac{a - 1}{2})}^{2} + {(\frac{b - 1}{2})}^{2} + \frac{a - 1}{2} + \frac{b - 1}{2}] + 2 \end{matrix}

néggyel osztva

2

maradékot ad. Ha volna megfelelő

c

és

d

, akkor

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = d^{2} - c^{2} = (c + d) (d - c) \end{matrix}

miatt

c + d

és

c - d

közül az egyiknek párosnak, másiknak páratlannak kellene lennie, ami nem lehet, mivel összegük,

2 c

, páros. Így ebben az esetben valóban nem található a feltételeknek eleget tevő

c

és

d

természetes szám.