|
Feladat: |
Gy.1689 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Banyár J. , Becze I. , Bene Gy. , Benkő T. , Blázsik Z. , Buczolich Z. , Bölcsföldi L. , Csányi Noémi , Csikós B. , Csordás A. , Filakovszky P. , Gát Gy. , Gyuris Zs. , Hajnal P. , Héder J. , Horváth Á. , Horváth M. , Horváth T. , Kántor S. , Kántor Zs. , Kátai I. , Kiss 352 Gy. , Kóta Erika , Kozma L. , Lakatos I. , Lukács 258 Erzsébet , Molnár 267 T. , Nagy 221 A. , Németh 892 R. , Németh Ágnes , Oláh K. , Pacher T. , Pintér L. , Pósafalvi A. , Spilkó J. , Szabó 200 Ágnes , Szalkai I. , Szemes Gy. , Szendrei G. , Varga L. , Varga T. , Verőházi Mária , Winkler R. |
Füzet: |
1978/május,
205 - 206. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térfogat, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1977/március: Gy.1689 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha az , , pontok egy egyenesen vannak, (1) miatt is, is benne van az és által meghatározott síkban, és emiatt rajta vannak ennek a síknak -vel alkotott metszésvonalán is. Így tehát az , , és az , , pontok egyszerre eshetnek csak egy egyenesre, amikor a mondott térfogatok -val egyenlőek.
A továbbiakban feltesszük, hogy az , , egyenesek nincsenek egy síkban. Toljuk el a testet a vektorral és jelöljük az új testet -vel, csúcsait rendre , , , , , -vel. (1) miatt csúcsai rendre rajta vannak az , , egyeneseken, így a és hasábok alkotó egyenesei azonosak. Ha -hoz hozzávesszük -t, akkor ugyanazt a testet kapjuk, mintha -hoz hozzávennénk -t, vagyis Mivel itt és egybevágóak, ebből következik, hogy és térfogata egyenlő. Tudjuk, hogy az eltolás a síkot síkba viszi át, rajta van az síkon, és magassága egyenlő az tetraéder -höz tartozó magasságával. Ennek a két testnek lapja közös, tehát térfogata háromszorosa térfogatának. Toljuk el -t is a vektorral, a kapott pont legyen . Ez egyrészt benne van az síkban, másrészt ugyanolyan messze van -től, mint . A hasáb magassága tehát egyenlő az tetraéder -hez tartozó magasságával, és térfogata háromszorosa térfogatának. Láttuk már, hogy és térfogata egyenlő, ezzel a bizonyítást befejeztük.
Megjegyzések. 1. Nem használtuk ki, hogy és diszjunktak, ami általában nem is igaz. Az efféle átdarabolásoknál mindig célszerűbb előbb hozzávenni az egyik testhez valamit (esetünkben -hez -t), és csak aztán elvenni egy másik darabot az egyesítés révén kapott testből (-ből -t). Tulajdonképpen arra is csak a szemléletesség kedvéért volt szükségünk, hogy test. Ezt a feladatnak az a feltétele biztosította, hogy a vizsgált pontok egy-egy félsíkban vannak benne. Igaz marad azonban a feladat állítása akkor is, ha benne a félsíkokat síkokkal helyettesítjük. 2. Belátható a feladat állítása annak alapján is, hogy a párhuzamos vetítés nem változtatja meg a területarányokat.
|
|