Kezdőlap


Feladat:	Gy.1688	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1977/november, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Trapézok, Egyéb sokszögek geometriája, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/március: Gy.1688

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megfelelő szakaszok egyenlőségéből következik, hogy $A B C_{▵} ≅ C D B_{▵} ≅ C D E_{▵}$ . Ebből és a konvexitásból az is adódik, hogy az $A B C D$ négyszög, valamint a $B C D E$ négyszög szimmetrikus trapéz.
Jelöljük a $B D$ és $A C$ szakaszok metszéspontját $O$ -val, $A C$ és $B E$ metszéspontját $F$ -fel, $A D$ és $B E$ metszéspontját $G$ -vel. Számítsuk ki az $A B C$ és $A C B$ szögeket.

A F G

háromszögből

F A G ∢ = 15^{\circ} = A C B ∢

. A

B F C

háromszögből

C B F ∢ = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}

, ebből

O B F ∢ = 60^{\circ} = D B E ∢ = B D C ∢ = C A B ∢

, amiből

A B C ∢ = 105^{\circ}

adódik.
A szerkesztés elvégzéséhez válasszuk meg tetszőlegesen a

B C

oldal hosszát és mérjük fel a

105^{\circ}

, ill.

15^{\circ}

-os szögeket ugyanazon oldalára. A szögszárak metszéspontja (amely biztosan létezik) lesz az

A

csúcs. Az

A

csúcsot a

B C

felező merőlegesre tükrözve kapjuk a

D

csúcsot. Az

E

csúcsot megkaphatjuk pl. úgy, hogy

B

-t tükrözzük a

C D

felező merőlegesére. A tükrözés biztosítja a kívánt szakaszok egyenlőségét.
Egy tetszőlegesen választott

B C

szakaszhoz tehát mindig tudunk rajzolni egy, a feltételeket kielégítő ötszöget.