Kezdőlap


Feladat:	Gy.1686	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Orova Edit
Füzet:	1977/november, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Nevező gyöktelenítése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/március: Gy.1686

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $\sqrt[3]{x}$ és a $\sqrt[3]{y}$ összegéről tudjuk, hogy racionális (ti. egyenlő $1$ -gyel). Ha sikerülne megmutatnunk, hogy különbségük is racionális, azzal a feladat állítását is igazolnánk, hiszen racionális számok összege, különbsége, valamint racionális szám fele is racionális.
Vizsgáljuk tehát a $\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x}$ különbséget. Az $u^{3} - v^{3} = (u - v) (u^{2} + u v + v^{2})$ összefüggés alapján

\begin{matrix} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = \frac{x - y}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x y} + \sqrt[3]{y^{2}}} . \end{matrix}

Itt a nevező sohasem lehet nulla (miért?), másrészt tudjuk, hogy a számláló racionális, elegendő igazolni, hogy a nevező is az. Ezt két lépésben látjuk be.
1.

\sqrt[3]{x y}

racionális: az

{(u + v)}^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 u v (u + v)

összefüggés alapján

\begin{matrix} 1 = {(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})}^{3} = x + y + 3 \sqrt[3]{x y} (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) = x + y + 3 \sqrt[3]{x y}, \end{matrix}

ahonnan azonnal látszik az állítás.
2.

\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}}

racionális:

\begin{matrix} 1 = {(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})}^{2} = \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} + 2 \sqrt[3]{x y}, \end{matrix}

amiből a

\sqrt[3]{x y}

racionalitása miatt az állítás következik. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Orova Edit (Tata, Eötvös J. Gimn., I. o. t.)