Kezdőlap


Feladat:	Gy.1678	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1977/november, 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/február: Gy.1678

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $275$ törzstényezős felbontása $5 \cdot 5 \cdot 11$ , tehát azokat a számokat kell megkeresnünk, amelyekre $A B C D E$ és $E D C B A$ osztható külön-külön $11$ -gyel és $25$ -tel. Mivel pontosan azok a számok oszthatók $25$ -tel, amelyek $00$ -ra, $25$ -re, $50$ -re vagy $75$ -re végződnek, a $D E$ és $B A$ e négy szám valamelyike lehet. Így az $A B D E$ számra $4 \cdot 4 = 16$ különböző esetet kapunk. Határozzuk meg, mennyi lehet $C$ értéke az egyes esetekben! Egy szám pontosan akkor osztható $11$ -gyel, ha jegyeit váltakozó előjellel összeadva $11$ -gyel osztható számot kapunk, tetszőleges szám és fordítottja egyszerre osztható $11$ -gyel. Tehát $C$ értékét úgy kell megválasztani, hogy például $A - B + C - D + E$ osztható legyen $11$ -gyel.
Végignézve a $16$ lehetséges esetet, az alábbi $13$ esetben kapunk $C$ -re egyjegyű számot:

\begin{matrix} 00000 & 00825 & 00550 & 00275 & 52800 & 52525 & 52250 \\ 05500 & 05225 & 05775 & 57200 & 57750 & 57475 \end{matrix}

Ha úgy értelmezzük az ötjegyűséget, hogy

A

nem nulla, vagyis a kezdő szám valódi ötjegyű, akkor csak

6

megoldás van:

\begin{matrix} 52800 & 52525 & 52250 & 57200 & 57750 & 57475 \end{matrix}

Ha pedig

E

sem nulla, akkor a szám és fordítottja is valódi ötjegyű, és csak kettő van ilyen:

\begin{matrix} 52525 57475. \end{matrix}