Feladat: Gy.1672 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1977/október, 69 - 70. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Lefedések, Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/január: Gy.1672

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első sorba helyezzük el a köröket úgy, hogy azok a négyzet oldalát és egymást is érintsék (1. ábra). Így egy sorba pontosan n kört rakhatunk le. Ha a következő sort ugyanilyen módon folytatjuk, akkor n2 darab kör helyezhető el az n oldalú négyzetben.

 

 

Próbálkozzunk másféle elrendezéssel! (2. ábra) A második sorba helyezzük el a körlemezeket úgy, hogy azok másik két kör ,,közé'' kerüljenek. Így a második sorba csak n-1 db kör került, de a két sor által elfedett magasság csökkent. Számítsuk ki a magasságcsökkenést! Három nem egymás mellett levő kör középpontja egy egységnyi oldalú szabályos háromszög 3 csúcsa, melynek magassága 3/2. Ez adja a két kör középpontnívó távolságát. A magasságcsökkenés tehát
2-(1+32)=2-32.
Kérdés, milyen n mellett növekszik ez a sávszélesség akkorára, hogy elférjen benne még egy sor? n sor elhelyezésekor n-1 sorban nyerhetünk a magasságon, azaz az (n-1)(2-32)≥32 egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Ahonnan
n≥2(2+3)≈7,464.

Ez n=8 esetén már teljesül, s ekkor a 9 sorban összesen elhelyezett körök száma
5⋅8+4⋅7=68>64=n2.
A feladat kérdésére tehát a válaszunk: igen.
Megjegyzések. 1. A megoldók egy része megelégedett azzal a válasszal, hogy elég nagy n választása esetén elérhető a kívánt elhelyezés, de nem adta meg az n értékét. (Ezeket elfogadtuk teljes megoldásnak.) Akadt a megoldók között olyan is, aki csak az első ábra szerinti elrendezést tudta elképzelni, s ebből kiindulva nemleges választ adott. (Ez persze hibás megoldás.)
2. Érdekes kérdésnek látszik, hogy a megoldásunkban talált 8 a legkisebb megfelelő szám-e. Azt kellene ehhez megvizsgálni, hogy be lehet-e tenni egy 7cm oldalú négyzetbe (álfedés nélkül) 50 egységnyi átmérőjű kört, vagy sem. Nevezetes tétele a matematika diszkrét geometria nevű ágának, hogy a megoldásunkban használt elhelyezés valamilyen meghatározott értelemben a legsűrűbb, ebből azonban önmagában még nem következik, hogy esetünkben is ez szolgáltatja a minimumot.
3. Hasonló problémával foglalkoztunk már lapunk 40. kötetének 4. számában (145. oldal). Az ott szereplő 1631-es feladatban többek között azt vizsgáltuk, hogy a négyzetbe ily módon elhelyezett körök a négyzet területének hány %-át fedik le.