Kezdőlap


Feladat:	Gy.1671	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1977/május, 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: Gy.1671

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B O$ , $B C O$ , $C D O$ , $D A O$ háromszögek területét rendre $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ -gyel.

Az első kettő

A O

O C

oldalának egyenese azonos, ezért

T_{1} : T_{2} = A O : C O

. Ugyanígy az utolsó kettőben

T_{3} : T_{4} = C O : A O

, tehát

T_{1} : T_{2} = T_{4} : T_{3}

, vagyis

T_{2} T_{4} = T_{1} T_{3}

.
Esetünkben

T_{1} = 4 {cm}^{2}

T_{3} = 9 {cm}^{2}

, így

T_{2} T_{4} = 36 {cm}^{4}

. Mivel

\begin{matrix} {(T_{2} + T_{4})}^{2} \geq 4 T_{2} T_{4}, \end{matrix}

T_{2} + T_{4} \geq 2 \sqrt[]{T_{2} T_{4}} = 12 m^{2}

. Eszerint, a négyszög területe legalább

25 {cm}^{2}

. Pontosan ennyi a terület például, ha

A C ⊥ B D

, és

A O = 2 cm

B O = 4 cm

C O = 3 cm

D O = 6 cm

, tehát jobb alsó korlát nem adható.

Megjegyzés. Ha, egy feladatban olyan számot kell mondanunk, amelyiknél bizonyos számok nem lehetnek kisebbek, nem egyértelmű, hogy mit tekintsünk teljes megoldásnak. Általános szabálynak itt is csak annyi mondható, mint a hasonló feladatok többségében, hogy törekedjünk a legjobb eredményre. Előfordulhat azonban, hogy az vagy egyáltalán nem, vagy a rendelkezésre álló eszközökkel nem érhető el. Ilyenkor az a megoldás értékesebb, amelyik nagyobb alsó korlátot ad meg. Ezért érdemes mindig megvizsgálni, nem javítható-e az általunk adott eredmény.