Feladat:	Gy.1668	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bene Gyula ,  Kiss Attila
Füzet:	1977/május, 211 - 212. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: Gy.1668

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x+a\sqrt[]{x}+b}=c\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Az (1) egyenletet emeljük négyzetre. Ez nem ekvivalens átalakítás, hamis gyök jöhet be, a megoldáshalmazból majd azokat ki kell zárni. Mindjárt csoportosítva, a következőt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\sqrt[]{x}\right)}^2+a\sqrt[]{x}+\left(b-c^2\right)=0.}\end{array}$ (2) Ez másodfokú egyenlet $\sqrt[]{x}$-re. Tudjuk, hogy ha egy másodfokú egyenletben a másodfokú tag együtthatója nem nulla, annak $0$, $1$ vagy $2$ megoldása van. Most is ez a helyzet, (2)-nek $0$ vagy $1$, vagy $2$ gyöke lehet a hamis gyökökkel együtt. Vagyis az (1) egyenletnek sosem lehet végtelen sok megoldása.     Kiss Attila (Budapest, Könyves Kálmán Gimn., II. o. t.)   Megjegyzés. A feladat szövegéből sajnálatos módon egy $\sqrt[]{x}$ lemaradt. Az eredeti feladat így szólt: Milyen összefüggés van az $a$, $b$, $c$ paraméterek között, ha az alábbi egyenletnek végtelen sok megoldása van? $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x+a\sqrt[]{x}+b}+\sqrt[]{x}=c\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Megoldás. Az egyenletet rendezés után négyzetre emelve $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a+2c\right)\sqrt[]{x}=\left(c^2-b\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Amennyiben (3) végtelen sok $x$-re teljesült, (4)-nek is végtelen sok $x$-re kell teljesülnie, ami viszont csak úgy lehet, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-2c\text{és}b=c^2\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Ezeket (3)-ba visszahelyettesítve, $\sqrt[]{x-2c\sqrt[]{x}+c^2}+\sqrt[]{x}=c$, azaz $|c-\sqrt[]{x}|+\sqrt[]{x}=c$, vagyis az kell, hogy $\sqrt[]{x}\le c$ teljesüljön végtelen sok $x$-re. Ez pedig pontosan akkor áll, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<c\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Így (5) és (6) összefüggéseknek kell teljesülniük, ha (3)-nak végtelen sok megoldása van, és ha ezek teljesülnek, (3)-nak végtelen sok megoldása van.     Bene Gyula (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)