Feladat: Gy.1667 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1977/május, 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/január: Gy.1667

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy az egyenlet mindkét oldalához 1-et adva, a bal oldal szorzattá alakítható:

xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1=x(yz+y+z+1)+(yz+y+z+1)=(x+1)(yz+y+z+1)=(x+1)(y+1)(z+1).


Így az eredeti egyenlettel ekvivalens a következő
(x+1)(y+1)(z+1)=1978.(2)
Az x, y és z értéke a feladat szerint pozitív egész, azaz x+1, y+1 és z+1 egynél nagyobb természetes számok. Értéküket tehát úgy kaphatjuk meg, hogy 1978-at három, egynél nagyobb természetes szám szorzatára bontjuk. Mivel 1978 törzstényezős felbontása 2⋅23⋅43, 1978-nak egyetlen, ennek megfelelő felbontása van, tehát x, y, z értéke valamilyen sorrendben 1, 22 és 42. Ez öszszesen hat megoldást jelent, amelyben x, y, z értékei rendre 1, 22, 42; 1, 42, 22; 22, 1, 42;, 22, 42, 1; 42, 1, 22; 42, 22, 1.