Kezdőlap


Feladat:	Gy.1665	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Térbeli szimmetrikus alakzatok, Térgeometria alapjai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/december: Gy.1665

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A_{0} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ötszögről a következőket tudjuk: oldalai egységnyi hosszúak, $A_{0} A_{1} ⊥ A_{1} A_{2}$ , $A_{1} A_{2} ⊥ A_{2} A_{3}$ . $A_{0} A_{3} = A_{1} A_{3} = \sqrt[]{2}$ . Az $A_{2}$ , $A_{4}$ csúcs egyrészt az $A_{0} A_{1}$ szakaszra merőleges síkban az $A_{1}$ , $A_{0}$ körüli egységsugarú $k_{2}$ , $k_{4}$ körön van, másrészt az $A_{3}$ körüli egység sugarú gömbön. A gömb és $k_{2} k_{4}$ körök metszéspontjai egy téglalapot határoznak meg, melynek $A_{0}$ , $A_{1}$ -gyel párhuzamos oldala egységnyi.

A_{0} A_{1}

szakasz felezőpontját jelöljük

F

-fel, a téglalap középpontját

O

-val. Az

A_{0} A_{1} A_{3}

sík a gömbnek és a

k_{2}

k_{4}

körök síkjának közös szimmetriasíkja, s így tartalmazza a téglalap középpontját,

O

-t.

A_{3}

O

F

tehát egy egyenesen van és

A_{3} F ⊥ A_{0} A_{1}

-re. A keresett átlót az

F A_{3} A_{2}

háromszögből fogjuk meghatározni, ahonnan ugyanis

O A_{2} = \frac{1}{2} A_{2} A_{4}

A_{0} A_{3} A_{1}

egyenlő szárú háromszögből

A_{3} F = \sqrt[]{\frac{7}{4}}

. Az

F A_{2} A_{1}

derékszögű háromszögből (

A_{0} A_{1} ⊥ A_{1} A_{2}

F A_{2} = \sqrt[]{\frac{5}{4}}

A_{3} A_{2} = 1

és

A_{3} O = x

O F = \sqrt[]{\frac{7}{4}} - x

.
Így

\begin{matrix} O A_{2}^{2} = 1 - x^{2} \\ O A_{2}^{2} = \frac{5}{4} - {(\sqrt[]{\frac{7}{4}} - x)}^{2} \end{matrix}

Az egyenletrendszerből a keresett átló hossza

2 O A_{2} = A_{2} A_{4} = \sqrt[]{\frac{19}{7}}