Kezdőlap


Feladat:	Gy.1661	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Brachna L. , Csiszár I. , Csordás A. , Endrey T. , Falusi Anikó , Fehér Ildikó , Filus J. , Gáspár P. , Gát Gy. , Hajdú Cs. , Horváth T. , Juhász I. , Kámán L. , Kántor S. , Kátai I. , Kiss 171 Zs. , Kiss Gy. , Kiss Margit , Kovács I. , Lakatos I. , Lengvárszky Zs. , Molnár 338 A. , Nagy 221 A. , Náray Zsófia , Oláh K. , Sass B. , Srádl J. , Szabó 537 L. , Szabó Ágnes , Szegedy M. , Szekeres G. , Szemes G. , Szendrei Gy. , Umann G. , Varga T. , Winkler R.
Füzet:	1977/április, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/december: Gy.1661

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy rögzített $m$ -re az (a) vagy a (b) feltétel csak akkor teljesülhet minden $x$ értékre, ha $K$ minden $x$ -re értelmezhető, és értéke sehol sem nulla. Ez pedig akkor következik be, ha $K$ -nak sem a számlálója, sem a nevezője nem nulla, vagyis a számláló és a nevező ‐ és ezzel együtt $K$ is ‐ állandó előjelű. A számláló és nevező pontosan akkor állandó előjelű, ha a számlálóban és a nevezőben szereplő két másodfokú polinom diszkriminánsa negatív:

\begin{matrix} 6^{2} {(m + 6)}^{2} - 4 (m^{2} + 10 m + 24) (m^{2} + 2 m - 24) = {(m + 6)}^{2} (100 - 4 m^{2}) < 0 \\ 8^{2} {(m - 6)}^{2} - 4 (m^{2} - 9 m + 18) (m^{2} - 3 m - 18) {(m - 6)}^{2} (100 - 4 m^{2}) < 0 \end{matrix}

A két feltételt egybefogva

\begin{matrix} | m | \neq 6 | m | > 5. \end{matrix}

(2)

Tudjuk tehát, hogy (2)-nek teljesülnie kell ahhoz, hogy vagy (a) vagy (b) teljesüljön, és tudjuk azt is, hogy ha (2) teljesül, akkor

K

értéke vagy pozitív minden

x

-re, vagy negatív minden

x

-re. Tehát azt, hogy a (2)-nek eleget tevő

m

értékek közül melyekre lesz

K

értéke pozitív vagy negatív, úgy állapíthatjuk meg, hogy megnézzük

K

előjelét egy tetszőleges

x

helyen. Legyen például

x = 0

, ekkor

\begin{matrix} K (0) = \frac{m^{2} + 10 m + 24}{m^{2} - 3 m - 18} = \frac{(m + 4) (m + 6)}{(m - 6) (m + 3)} . \end{matrix}

Látható, hogy a számláló akkor pozitív, ha

- 4 < m

vagy

m < - 6

, és negatív, ha

- 6 < m < - 4

; a nevező pedig pozitív, ha

6 < m

vagy

m < - 3

, és negatív, ha

- 3 < m < 6

.
Tehát

K (0)

pozitív az

| m | > 6

;

- 4 < m < - 3

értékekre és negatív, ha

- 6 < m < - 4

;

- 3 < m < 6

. Ha ezt összevetjük a (2) feltétellel, kapjuk, hogy

(a)

K

pontosan akkor pozitív minden

x

-re, ha

| m | > 6

;
(b)

K

pontosan akkor negatív minden

x

-re, ha

5 < | m | < 6