I. megoldás. Könnyen látható, hogy van olyan kör, amelyik $1976$ ponton megy át. Megmutatjuk, hogy több pont nem lehet egy körön.
Tekintsünk egy $k$ kört, mely bizonyos felezőpontokat tartalmaz, és a sokszögnek azokat az átlóit, melyeknek éppen ezek a felezőpontjai, (ha ez nem volna egyértelmű, az egyik ilyen átlót). Ha a sokszög minden egyes csúcsából a fenti átlók közül legfeljebb $2$ fut ki, akkor az átlók száma legfeljebb $1976$, mert minden átlót két csúcsnál vettünk számításba. Így a körön levő felezőpontok száma ugyancsak legfeljebb $1976$.
Ha nem az előbbi eset áll fenn, akkor van a sokszögnek egy olyan $A$ csúcsa, hogy ebből a csúcsból legalább $3$ kiinduló átló felezőpontja van a $k_1$ körön. E három felezőpont nyilván különböző, így meghatározza $k$-t. Másrészt, ha a sokszög köré írt kört az $A$ pontból felére kicsinyítjük, a kapott $k_1$ kör tartalmazza az $A$-ból kiinduló átlók felezőpontjait. Így kell, hogy $k_1$ azonos legyen $k$-val. $k$-n biztosan rajta van az $A$-ból induló valamennyi átló felezőpontja (köztük a sokszög köré írt kör $O$ középpontja), ez összesen $1975$ pont.
Most belátjuk, hogy más felezőpont nem lehet $k_1$-en.
Legyen $d$ egy átló és ennek $F$ felezőpontja legyen rajta $k$-n. Mivel a kör középpontját a húr felezőpontjával összekötő szakasz merőleges a húrra, ezért $OF\perp d$, s mivel $AO$ a $k$ körben átmérő, így Thalész tétele szerint $d$-nek át kell mennie $k$ átmérőjének másik végpontján, $A$-n. Így valóban csak az $A$-n átmenő átlók felezőpontjai lehetnek rajta $k$-n.
Azaz a kijelölt pontok közül legfeljebb $1976$ lehet egy körön.