Kezdőlap


Feladat:	Gy.1656	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/március, 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/november: Gy.1656

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott számjegysorozat alkossa az $n$ -jegyű $S$ természetes számot. Az, hogy van olyan négyzetszám, ami ezzel a számjegysorozattal kezdődik, pontosan azt jelenti, hogy vannak olyan $k$ és $N$ természetes számok, amikre

\begin{matrix} S \cdot 10^{k} \leq N^{2} < (S + 1) \cdot 10^{k} \end{matrix}

(1)

vagyis

\begin{matrix} \sqrt[]{S \cdot 10^{k}} \leq N < \sqrt[]{(S + 1) \cdot 10^{k}} . \end{matrix}

(2)

Itt azt öntöttük képletbe, hogy

N^{2}

első

n

jegye az

S

számot alkossa, és utána még

k

valamilyen más számjegy következzen. Ahhoz, hogy (2)-t kielégítő

N

létezzen, elegendő, hogy a két szélen álló szám különbsége 1-nél nagyobb legyen:

\begin{matrix} \sqrt[]{(S + 1) \cdot 10^{k}} - \sqrt[]{S \cdot 10^{k}} = (\sqrt[]{S + 1} - \sqrt[]{S)} \sqrt[]{10^{k}} > 1, \end{matrix}

amiből

\sqrt[]{10^{k}} > \sqrt[]{S + 1} + \sqrt[]{S}

azaz

\begin{matrix} 10^{k} > 2 S + 1 + 2 \sqrt[]{S^{2} + S} . \end{matrix}

(3)

Így ha

k

-t úgy választjuk, hogy (3) teljesüljön (amit megtehetünk), akkor (2) két szélén álló szám különbsége

1

-nél nagyobb, tehát

N

-et is meg tudjuk választani úgy, hogy (2) és ezzel együtt (1) is igaz legyen. Ezzel pedig épp a feladat állítását igazoltuk.