Feladat:	Gy.1653	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/február, 72 - 73. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/október: Gy.1653

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle EC:BM=FC:DM\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A feladat sajtóhibásan jelent meg. Helyesen a szövege a következő: Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle EC:BM=FC:FM\mathrm{.}}\end{array}$ A feladat állítása így nem igaz. Tekintsük a következő ellenpéldát: ha az $ABCD$ húrnégyszög $AB$ és $DC$ oldalának $E$, $BC$ és $AD$ oldalának $F$ metszéspontja $D$-vel éppen szabályos háromszöget határoznak meg, a szabályos háromszög oldalát egységnyinek véve, ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle EC=\frac{1}{2}\mathrm{,}BM=\frac{1}{3}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle FC=DM=\frac{\sqrt[]{3}}{2}}\hfill \end{array}}$ az (1) arány tehát nem állhat fenn.     Most tekintsünk egy tetszőleges $ABCD$ húrnégyszöget, és vizsgáljuk meg, milyen feltétel mellett lesz igaz az (1) állítás. A négyszög csúcsainak körüljárási iránya az $E$ és $F$ pontokat nem változtatja meg, ezért válasszuk a betűzést úgy, hogy az $A$ és $F$ a $BM$ egyenes ugyanazon oldalára essék.     Először azt látjuk be, hogy az $E$, $M$ és $F$ pontok mindig egy egyenesen vannak. Az $ABCD$ és az $EADM$ négyszög is húrnégyszög, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle EMD\sphericalangle =BCD\sphericalangle \mathrm{.}}\end{array}$ Az $EMFC$ négyszögben $CEM\sphericalangle +EMF\sphericalangle +MFC\sphericalangle +FCE\sphericalangle ={360}^{\circ }$, de $CEM\sphericalangle =DEM\sphericalangle =DAM\sphericalangle$, mivel $EADM$ húrnégyszög, és $MFC\sphericalangle =MFB\sphericalangle =MAB\sphericalangle$ az $ABMF$ húrnégyszögből, és $FCE\sphericalangle =DCB\sphericalangle$, a bal oldalon álló három szög összege ${180}^{\circ }$, amiből következik, hogy $EMF\sphericalangle ={180}^{\circ }$. A szögek egyenlőségéből következik, hogy az $EFC$ háromszög hasonló az $MBF$ háromszöghöz, s így $EC:BM=FC:FM$. Az (1) arány tehát csak úgy állhat fenn, ha $FM=DM$, s ez volt az eredeti állítás is.