Kezdőlap


Feladat:	Gy.1652	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/február, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Terület, felszín, Sokszögek szimmetriái, Szabályos sokszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/október: Gy.1652

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a hatszög szabályos, a $B E$ átló szimmetria tengelye. Az $A F$ egyenes tükörképe erre a tengelyre $C D$ . Az $F B$ és $C D$ egyenesek metszéspontja $G$ , egyben $F$ -nek $B$ -re vonatkozó tükörképe. $D$ -nek $B$ -re vonatkozó tükörképe $D'$ az $F A$ egyenesen van és megegyezik $G$ -nek az $E B$ tengelyre vonatkozó tükörképével.

A B

tengelyes tükrözés miatt, s mivel

D' D

is merőleges az

A B

egyenesre, az

A D' G

háromszög egybevágó az

A D H

háromszöggel.
Ezután kezdjünk a számoláshoz. Legyen a hatszög oldala egységnyi. Jelöljük az

A G

húrnak a körrel való metszéspontját

X

-szel, az

A H

húrét

Y

-nal. Meg kell határoznunk az

A X, A Y

arányt.
Ehhez írjuk fel az

A D H

, illetőleg

A G D

háromszög területét kétféle módon is.
Az

A D H

háromszögből

A D = 2

A

és

D

a hatszög két átellenes pontja, az egybevágóságból és tükrözésből

\begin{matrix} D H = D' G = F D = \sqrt[]{3}, és A H = \sqrt[]{A D^{2} + D H^{2}} = \sqrt[]{7} . \end{matrix}

A D H

háromszög kétszeres területe, így

\begin{matrix} A D \cdot D H = A H \cdot D Y és D Y = \sqrt[]{D A^{2} - A Y^{2}} \end{matrix}

helyettesítésével

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{3} = \sqrt[]{7} \cdot \sqrt[]{4 - A Y^{2}} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} A Y = \frac{4}{\sqrt[]{7}} . \end{matrix}

A G D

háromszögből

A D = 2

A G = \sqrt[]{7}

, és

G D = G C + C D = A D + C D = 3

. Ugyancsak felírva a kétszeres területeket

\begin{matrix} A G \cdot D X = D G \cdot A C és D X = \sqrt[]{A D^{2} - A X^{2}} felhasználásával \\ \sqrt[]{7} \cdot \sqrt[]{4 - A X^{2}} = 3 \cdot \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Innen

A X = \frac{1}{\sqrt[]{7}}

. Így a keresett arány

A X : A Y = 1 : 4