Kezdőlap


Feladat:	Gy.1650	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/február, 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/október: Gy.1650

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételünk szerint ${(x + y + z)}^{3} = x^{3} + y^{3} + z^{3}$ , amit megfelelően átrendezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (x + y) (y + z) (z + x) = 0. \end{matrix}

(2)

Egy szorzat értéke csak úgy lehet

0

, ha legalább egy tényezője

0

, azaz (2) szerint

x

y

z

közül valamelyik kettőnek összege

0

. Jelöljük ezeket

u

-val, illetve

v

-vel, a harmadikat

w

-vel, így

u + v = 0

, továbbá az első feltétel szerint

u + v + w = w = a

. Felhasználva, hogy

k

páratlan egész:

\begin{matrix} x^{k} + y^{k} + z^{k} = u^{k} + v^{k} + w^{k} = u + {(- u)}^{k} + a^{k} = u^{k} - u^{k} + a^{k} = a^{k} \end{matrix}

amit igazolnunk kellett.