Kezdőlap


Feladat:	Gy.1645	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/január, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: Gy.1645

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az (1) kifejezésben $5$ darab hármas szerepel, jelöljük a különböző zárójelezések számát $z_{5}$ -tel; általában ha $i$ darab hármas szerepel, akkor a különböző zárójelzések számát $z_{i}$ -vel. Tudjuk, hogy

\begin{matrix} z_{2} = 1, z_{3} = 2, \end{matrix}

(2)

és feladatunk

z_{5}

meghatározása. A zárójelezés azt jelenti, hogy az (1) kifejezésben kijelölünk egy alapot és egy kitevőt, majd az alapot és a kitevőt külön-külön zárójelezzük. Az alap tartalmazhat

1

2

3

vagy

4

darab hármast, ekkor a kitevőben rendre

4

3

2

, illetve

1

hármas lesz. A zárójelezések számát az egyes esetekben úgy kapjuk meg, hogy az összetartozó alap-kitevő párok lehetséges zárójelezéseinek számát összeszorozzuk, majd a szorzatokat összeadjuk:

\begin{matrix} z_{5} = 1 \cdot z_{4} + z_{2} \cdot z_{3} + z_{3} \cdot z_{2} + z_{4} \cdot 1. \end{matrix}

(3)

Ennek alapján előbb

z_{4}

-et kell meghatároznunk. Négy darab hármas esetén könnyebb dolgunk van, ugyanis az "alap'' most csak

1

2

vagy

3

darab hármast tartalmazhat, így a zárójelezések száma:

\begin{matrix} z_{4} = 1 \cdot z_{3} + z_{2} \cdot z_{2} + z_{3} \cdot 1. \end{matrix}

(4)

Ennek értéke (2) szerint

5

, így (3) alapján

z_{5}

értéke

14

, azaz az (1) kifejezést

14

-féleképpen zárójelezhetjük.
b) Felírva a

14

lehetséges zárójelezést, az

{(a^{b})}^{c} = a^{b c}

összefüggés alkalmazásávál mindegyiket

3 {^{3}}^{x}

alakra hozhatjuk, és

x

előforduló értékei

4

5

6

10

27

28

81

3^{9}

, valamint

3^{27}

. Így a

14

-féle zárójelezés legfeljebb

9

különböző értéket szolgáltat, de ennyit kapunk is, hiszen az itt felsorolt

9

szám mind különböző. (Ezt például beláthatjuk úgy, hogy felhasználjuk, hogy azonos, egynél nagyobb alapú hatványok csak akkor egyenlők, ha a kitevők egyenlők.)

Megjegyzés. A megoldás a) felében használt gondolatmenettel azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} z_{n} = 1 \cdot z_{n - 1} + z_{2} \cdot z_{n - 2} + ... + z_{n - 2} \cdot z_{2} + z_{n - 1} \cdot 1, \end{matrix}

amiből egy kis számolás után azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} z_{n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1}) \end{matrix}