Kezdőlap


Feladat:	Gy.1643	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: Gy.1643

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy az öt összeállított szám szorzata a lehető legnagyobb legyen, mindenképpen az kell, hogy mindegyik számban a tizes helyiértékű jegy nagyobb legyen az egyes helyiértékű jegynél. Ha ez nem így lenne, a számot "megfordítva'', a számok szorzata biztosan nőne.
Így a tíz számjegy közül a legnagyobb, a $9$ -es biztosan tízes helyiértékű, a legkisebb, a $0$ pedig egyes helyiértékű. Megmutatjuk, hogy ennek a két számjegynek egy számban kell szerepelnie. Ugyanis ha a $9$ az $a$ számjeggyel, a $0$ pedig a $b$ számjeggyel szerepelne együtt, akkor e két szám szorzata kisebb lenne, mintha a $0$ -t és az $a$ számjegyet felcserélnénk:

\begin{matrix} (10 \cdot 9 + a) (10 \cdot b + 0) = 900 b + 10 a b < 900 b + 10 \cdot a \cdot 9 = (10 \cdot 9 + 0) (10 b + a), \end{matrix}

hiszen

b < 9

. Így az egyik kétjegyű szám feltétlenül a

90

.
Hasonlóképpen a következő legnagyobb, illetve legkisebb számjegynek, a

8

-nak és az

1

-nek megint egy számban kell szerepelnie, mivel ha azok a

c

, illetve

d

számjegyekkel együtt szerepelnének, akkor az

1

-et és

c

-t felcserélve a szorzat megint csak nőne:

\begin{matrix} (10 \cdot 8 + c) (10 \cdot d + 1) = 810 d + 80 + c + 10 (c - 1) d < 810 d + 80 + c + 10 (c - 1) \cdot 8 = (10 \cdot 8 + 1) (10 \cdot d + c) . \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk azt, hogy a

7

és

2

, a

6

és

3

, valamint az

5

és

4

számjegyek egy számban fognak szerepelni. Így a keresett öt kétjegyű szám:

90

81

72

63

és

54

, szorzatuk pedig,

1 785 641 760

Megjegyzés. Az érkezett dolgozatok között csak igen kevés hibátlan akadt. Megoldóink többsége indoklás nélkül kijelentette, hogy az

5, 6, ..., 9

számjegyeknek elöl kell szerepelniük, noha ennek bizonyítása nem is olyan egyszerű. Volt olyan megoldó, aki avval érvelt, hogy "a matematikában van logika, és az egyetlen logikus összeállítás a fenti''. Ez a "megoldás'' természetesen a hibásak közé került.